Sur la géométrie de la singularité initiale des espaces-temps plats globalement hyperboliques

Mehdi Belraouti (1)

1 LANLG - Laboratoire d'Analyse non linéaire et Géométrie

On étudie le comportement asymptotique des niveaux d'une fonction temps quasi-concave, définie sur un espace-temps globalement hyperbolique maximal plat de dimension trois, admettant une hypersurface de Cauchy de genre $\geq 2$. On donne une réponse positive à une conjecture posée par Benedetti et Guadagnini dans \cite{MR1857817}. Plus précisément, on montre que les niveaux d'une telle fonction temps convergent au sens de la topologie de Hausdorff-Gromov équivariante vers un arbre réel. On montre de plus que la limite est indépendante de la fonction temps choisie. Let $M$ be a maximal globally hyperbolic Cauchy compact flat spacetime of dimension $2+1$, admitting a Cauchy hypersurface diffeomorphic to a compact hyperbolic manifold. We study the asymptotic behaviour of level sets of quasi-concave time functions on $M$. We give a positive answer to a conjecture of Benedetti and Guadagnini in \cite{MR1857817}. More precisely, we prove that the level sets of such a time function converge in the Hausdorff-Gromov equivariant topology to a real tree. Moreover, this limit does not depend on the choice of the time function.

Domaines: Géométrie différentielle [math.DG]

Mehdi Belraouti. Sur la géométrie de la singularité initiale des espaces-temps plats globalement hyperboliques. 2011. ⟨hal-00633198v2⟩