Décomposition effective de Jordan-Chevalley et ses retombées en enseignement

Danielle Couty (1) , Jean Esterle (2) , Rachid Zarouf (3)

1 IMT - Institut de Mathématiques de Toulouse UMR5219
2 IMB - Institut de Mathématiques de Bordeaux
3 LATP - Laboratoire d'Analyse, Topologie, Probabilités

Cet article concerne la décomposition de Jordan-Chevalley (ou de Jordan) d'une matrice de taille $n\times n$ }à{\small{} coefficients dans un corps $\mathbb{K},$ qui, dans sa version multiplicative, joue un rôle fondamental dans la théorie des groupes algébriques. En effet la partie "semisimple" et la partie "unipotente" d'un élément d'un groupe algébrique $G$ appartiennent à $G,$ et cette propriété a été utilisée par le premier auteur dans son étude de la diagonalisation de certaines applications formelles \cite{Cou} entreprise pendant la préparation de sa thèse sous la direction du second auteur. Le fait que c'est la décomposition de Jordan, et non la réduction de Jordan, qui a joué un rôle important dans \cite{Cou}, a amené le second auteur a repenser l'organisation de ses cours d'algèbre linéaire, en donnant au théorème de décomposition de Jordan un rôle central dans ses cours à l'Ecole d'ingénieurs ESTIA depuis 1997 pour des raisons pédagogiques détaillées dans l'article.

Mots clés: Decomposition de Jordan; Algorithme de Newton; Decomposition de Chevalley; Diagonalisable; Nilpotent

Domaines: Anneaux et algèbres [math.RA]; Mathématiques générales [math.GM]; Théorie des groupes [math.GR]

Danielle Couty, Jean Esterle, Rachid Zarouf. Décomposition effective de Jordan-Chevalley et ses retombées en enseignement. 2010. ⟨hal-00525465v1⟩