Estimations vraisemblables et fonctions pivotales
Résumé
Quitte à se limiter à quelques modèles statistiques usuels (et importants) qui vérifient une condition forte de "vraisemblance pivotale", on peut étendre la méthode des pivots utilisée pour les intervalles de confiance à l'estimation de paramètre (réel ou vectoriel) par régions (les plus) vraisemblables. La procédure proposée ne fait intervenir aucun élément ou choix arbitraire (estimation intrinsèque) ; ce qui implique en particulier son invariance par reparamétrage, à l'instar des estimations ponctuelles au maximum de vraisemblance attachées à ces estimations ensemblistes. Pour les modèles exponentiels à un paramètre réel qui ne s'y prêtent pas, on propose un mode d'estimation de substitution adossé à des intervalles de confiance bien choisis. Ceci demande de nouveaux développements dans le cas où la loi de l'estimateur efficace est discrète. On retrouve en les ayant justifiées certaines façons de procéder habituelles. Ce travail statistique est de facture purement classique (fréquentiste), aucune densité de probabilité bayésienne n'étant introduite dans l'espace des paramètres à côté ou à la place de la fonction de vraisemblance. On indiquera pourtant dès le début de l'étude une façon élémentaire (mais apparemment inusitée) de prendre correctement en compte de l'information a priori sur les paramètres. On vérifiera aussi en fin d'étude qu'on peut, sur un plan formel, probabiliser a posteriori l'espace des paramètres des modèles à vraisemblance pivotale, mais simplement de manière "superficielle" en vue de formuler les résultats d'estimation. Cela peut même être fait de manière complète mais à notre avis abusive pour certains modèles exponentiels à un paramètre réel : on retombe alors sur la notion de probabilité fiduciaire introduite par R.A. Fisher, qui a tenté sans y parvenir vraiment d'en donner une définition générale et d'en faire un outil rigoureux d'inférence statistique.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)