Modèles statistiques à vraisemblance pivotale

Francis Maisonneuve (1)

1 École des Mines de Paris

Quitte à se limiter à quelques modèles statistiques usuels (mais importants) qui vérifient une condition forte de "vraisemblance pivotale", on peut étendre la méthode des pivots utilisée pour les intervalles de confiance à l'estimation de paramètre (réel ou vectoriel) par régions les plus vraisemblables. La procédure proposée ne fait intervenir aucun élément ou choix arbitraire (estimation intrinsèque) ; elle est de plus invariante par reparamétrage, à l'instar des estimations ponctuelles au maximum de vraisemblance attachées à ces estimations ensemblistes. Bien que la démarche soit de facture purement classique (fréquentiste), on vérifiera en dernière partie de l'étude qu'il est possible de probabiliser a posteriori l'espace des paramètres de tels modèles à vraisemblance pivotale, au moins de manière partielle en vue de formuler les résultats d'estimation, et même complètement pour les exemples considérés, qualifiés de parfaits. Allant au-delà de la notion contestée de probabilité fiduciaire introduite par R.A. Fisher, on pourra établir pour eux un lien direct avec l'approche bayésienne en dégageant une notion de loi a priori non informative ; on rejoindra à cette occasion l'approche de l'école bayésienne appelée exact matching prior. We consider a few common (however important) statistical models satisfying a strong condition of "pivotal likelihood". For these, we can extend the pivotal method designed for the confidence intervals to the (real or vectorial) parameter estimation based on highest likelihood regions. The proposed procedure involve no arbitrary element or choice (intrinsic estimation); furthermore it is equivariant under reparameterization, as do maximum likelihood point estimations linked with these set estimations. Although this work relies only on classical (frequentist) statistics, we verify in the final section of the paper that it is possible to post-probabilize the parameter space of such models having pivotal likelihood, at least partially in order to express the estimation results, and even completely for the previous examples that we call perfect models. Going further than the highly contested fiducial probability introduced by R.A. Fisher, we will establish for them a direct link with Bayesian modelling by identifying a notion of uninformative prior distribution ; we will meet on this occasion the Bayesian approach called exact matching prior.

Mots clés: Statistique paramétrique; Théorie de l'estimation; Fonction pivotale; Région de confiance; Région vraisemblable; Invariance par reparamétrage; Information a priori; Probabilité fiduciaire; Exact matching prior

Domaines: Statistiques [math.ST]; Théorie [stat.TH]

Francis Maisonneuve. Modèles statistiques à vraisemblance pivotale. 2013. ⟨hal-00519962v7⟩