Une histoire de l'universalité des matrices mathématiques.

Frederic Brechenmacher (1)

1 LML - Laboratoire de Mathématiques de Lens

A history of the universality of matrices in mathematics. This study tackles the various dimensions of a complex phenomenon of universalization in the history of mathematics. The international “theory of matrices” of the 1930's highlights the interrelations and the structuring effects of local practices on the production of global ones. Because such practices were peculiar to individuals or networks and because they were resorting to some tacit knowledge, local ways of thinking, disciplinary ideals and internal philosophies, they point to some cultural and social issues related to disciplines and communities formations, evolutions and connections. By interrogating the cultural identities of such practices along the line of “scale games” between the local and the global, the short-term and the long-term (1850-1938), this study aims at a deeper understanding of the history of linear algebra without focusing on issues related to the origins of theories or structures. The adoption of a universal terminology of “matrices” highlights the role of quantum mechanics in a process of internationalisation and sheds some light on the interrelation of the “abstract” nature attributed to matrices in the theory of bilinear forms (most prominent at the beginning of the 20th century) and the various operatory processes resorting to pictorial representations which were often developed in peripheries. Ideals of universality were especially attributed to matrices during the development of academic mathematics in Great Britain and the United States. This paper especially raises some issues related to the collective phenonemons of appropriations and circulations of texts and point out the role of some pedagogical values of “simplicity” and “generality” taken up by new communities of teachers-cum-researchers in the constitution of unifying algebraic theories.

La « théorie des matrices » des années 1930 manifeste une dynamique d'universalité qui se nourrit de phénomènes multiples et peut s'analyser en termes de passages au global de pratiques locales. Avant qu'un cadre disciplinaire, comme celui de l'algèbre linéaire, permette d'envisager des structures sous tendant les pratiques algébriques, les identités de telles pratiques ne portent le plus souvent pas de significations théoriques mais manifestent des aspects culturels propres à des réseaux dont les identités sont complexes. Cet article s'attache en particulier aux phénomènes collectifs de réception ou de circulation de textes nécessitant des jeux d'échelles entre local et global, temps court et temps long (1850-1938). L'internationalisation de la terminologie matricielle s'avère portée par le développement de la mécanique quantique sans que l'universalisation des matrices se réduise à ce phénomène. Il s'avère nécessaire d'étudier les circulations, mutations, disparitions ou fusions de pratiques distinctes se déployant dans une multiplicité de temps et espaces sociaux : caractère d' « abstraction » prêté aux matrices dans la « théorie des formes », prédominante au début du siècle, pratiques opératoires sur des formes imagées, souvent élaborées en périphéries et appuyant des démarches d'appropriations de savoirs mathématiques, idéaux d' « universalité » indissociables de la constitution de nouveaux centres en Grande Bretagne et aux États-Unis, ou encore idéaux de « simplicité » et « généralité » propres au réseau du « calcul des tableaux » dans le cadre de préoccupations pédagogiques élaborées par de nouvelles communautés d'enseignants-chercheurs.

Mots clés: History of mathematics. Statistical survey. Algebraic practices. Universality. Canonical forms. Invariants; Elementary divisors. Invariant factors. Linear substitutions. Bilinear forms. Matrices. Spectral theory. Linear algebra. Algebra. Arithmetic. Mechanics. Cayley. Sylvester. Weyr. Turnbull. Aitken. Mac Duffee.

Mots clés: Histoire des mathématiques. Étude quantitative. Pratiques algébriques. Universalité. Cayley. Sylvester. Mac Duffee. Weyr. Turnbull et Aitken. Formes canoniques. Invariants. Diviseurs élémentaires. Facteurs invariants. Substitutions linéaires. Formes bilinéaires. Matrices. Théorie spectrale. Algèbre linéaire. Algèbre. Arithmétique. Mécanique; Histoire des mathématiques. Étude quantitative. Pratiques algébriques. Universalité. Cayley. Sylvester. Mac Duffee. Weyr. Turnbull et Aitken. Formes canoniques. Invariants. Diviseurs élémentaires. Facteurs invariants. Substitutions linéaires. Formes bilinéaires. Matrices. Théorie spectrale. Algèbre linéaire. Algèbre. Arithmétique. Mécanique.

Domaines: Histoire, Philosophie et Sociologie des sciences

Frederic Brechenmacher. Une histoire de l'universalité des matrices mathématiques.. 2008. ⟨hal-00339082v1⟩