Quand est-ce que des bornes de Hardy permettent de calculer une constante de Poincaré exacte sur la droite ?
Résumé
Classiquement, des inégalités de Hardy permettent d'estimer le trou spectral d'une diffusion réelle à un facteur 4 près. L'objectif de ce papier est d'essayer de mieux appréhender cette constante fluctuante, du moins dans un contexte symétrique. Notamment on donnera un critère asymptotique simple assurant qu'elle vaut exactement 4. L'argument sous-jacent consiste à voir le trou spectral comme une fonctionnelle semi-explicite et surtout monotone en un réarrangement des données du problème. Pour l'exhiber, on aura recours à des propriétés de régularité de la constante de Poincaré correspondante et on fera certains liens avec les méthodes de chemins, les premières valeurs propres de Dirichlet, les équations de Sturm-Liouville et les fonctionnelles browniennes, la plupart ayant déjà été observés par divers auteurs. Enfin on étendra les résultats obtenus au cas des processus de vie et de mort sur $\ZZ$, mais toujours dans un cadre symétrique. Notre espoir est que cette démarche pourra s'adapter pour permettre d'appliquer finement les constantes de Hardy à des inégalités fonctionnelles plus ardues que celle de Poincaré.
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