Homéomorphismes de classe $P$, $C^{r}$ par morçeaux ($r\geq 2$) du cercle conjugués à des rotations et régularité des mesures invariantes
Résumé
On donne une caractérisation des homéomorphismes $f$ de classe $P$, $C^{r}$ par morçeaux ($r\geq 1$) du cercle ayant un nombre fini de points de coupure et de nombre de rotation irrationnel qui sont conjugués différentiablement à des $C^{r}$- difféomorphismes et donc à des rotations d'après \cite{yKdO89}. Cette caractérisation étend celle obtenue par I. Liousse pour les homéomorphismes affines par morçeaux du cercle (\cite{iL04}). On montre que les propriétés suivantes sont équivalentes:
i) $f$ est conjugué à un $C^{r}$-difféomorphisme du cercle par un homéomorphisme de classe $P$ quadratique par morçeaux.
ii) Le nombre de points de coupure de $f^{n}$ \ est borné par une constante indépendante de $n$.
iii) le produit des sauts de $f$ aux points de coupures situés sur une même orbite vaut $1$. Nous obtenons aussi que si $f$ est de classe $P$, $C^{2+\varepsilon}$ par morçeaux ($\varepsilon > 0$) de nombre de rotation irrationnel et si les points de coupure de $f$ sont sur une même orbite dont le produit des sauts de $f$ en ces points n'est pas égal à $1$ alors la mesure invariante $\mu_{f}$ est singulière par rapport à la mesure de Haar généralisant ainsi le théorème de Dzhalilov et Khanin (\cite{kmKaD98}).
i) $f$ est conjugué à un $C^{r}$-difféomorphisme du cercle par un homéomorphisme de classe $P$ quadratique par morçeaux.
ii) Le nombre de points de coupure de $f^{n}$ \ est borné par une constante indépendante de $n$.
iii) le produit des sauts de $f$ aux points de coupures situés sur une même orbite vaut $1$. Nous obtenons aussi que si $f$ est de classe $P$, $C^{2+\varepsilon}$ par morçeaux ($\varepsilon > 0$) de nombre de rotation irrationnel et si les points de coupure de $f$ sont sur une même orbite dont le produit des sauts de $f$ en ces points n'est pas égal à $1$ alors la mesure invariante $\mu_{f}$ est singulière par rapport à la mesure de Haar généralisant ainsi le théorème de Dzhalilov et Khanin (\cite{kmKaD98}).