Couches limites: un problème inverse.
Résumé
On s'intéresse à des problèmes mixtes pour des systèmes symétriques hyperboliques multidimensionnels quasilinéaires avec des conditions aux limites maximales dissipatives portant sur un bord non caractéristique ou caractéristique de multiplicité constante.On suppose donnée une solution régulière d'un tel problème sur un intervalle de temps (0,T_0), où T_0 >0. On considère des perturbations paraboliques, introduisant dans l'équation une famille (epsilon E)_{epsilon dans ]0,1]} où E est une viscosité uniformément elliptique. On prescrit des conditions aux limites très particulières de type mixte Dirichlet-Neumann.On montre, pour epsilon assez petit, l'existence de solutions régulières u^\epsilon de ces problèmes sur l'intervalle de temps (0,T_0). De plus, on montre que u^0 est limite dans C(0,T_0 ;L^infini \cap H^1 ), quand epsilon tend vers 0+, des u^epsilon. L'existence et la convergence vers u^0 des u^epsilon JUSQU'AU TEMPS T_0 proviennent d'une propriété originale de transparence. En fait, on donne une description asymptotique, pour epsilon tend vers 0^+ , très précise des u^epsilon à l'aide de développements de type BKW mettant en évidence des couches limites de petite amplitude. La petitesse des couches est liée au choix des conditions aux limites pour les perturbations visqueuses.