Nonparametric estimation of the number of species : application to the ichthyofauna of the Ouémé basin river
Estimation non paramétrique du nombre d'espèces : Application à l'étude de la faune ichtyologique du bassin du fleuve Ouémé.
Résumé
This manuscript is structured in two parts. The rst part composed of Chapters 2 to 4 deals with the problem of estimating the number of classes in a population with an application in ecology. The second part, corresponding to Chapter 5, concerns the application of statistical methods to analyze sheries data. In the rst part, we consider a heterogeneous population split into several classes. From a sample, the numbers of observed individuals per class, also called abundances, are used to estimate the total number of classes in the population. In the literature devoted to the number of classes estimation, methods based on a mixture of Poisson distributions seem to be the most e cient (see for example the work of Chao and Bunge (2002) in the parametric framework and that of Wang and Lindsay (2005) in a non-parametric framework). Applications of these approaches to real data show that the distribution of abundances can be approximated by a convex distribution. We propose a non-parametric approach to estimate the distribution of abundances under the constraint of convexity. This constraint de nes a theoretical framework for estimating a discrete density. The problem of estimating the number of classes is then tackled in two steps. We show on the one hand the existence and uniqueness of an estimator of a discrete density under the constraint of convexity. Under this constraint, we prove that a discrete density can be written as a mixture of triangular distributions. Using the support reduction algorithm proposed by Groeneboom et al. (2008), we propose an exact algorithm to estimate the proportions in the mixture. On the other hand, the estimation procedure of a discrete convex density is used to estimate the zero-truncated distribution of the observed abundance data. The zero-truncated distribution estimate is then extended at zero to derive an estimate of the probability that a class is not observed. This extension is made so as to cancel the rst component in the mixture of triangular distributions. An estimate of the total number of classes is obtained through a binomial model assuming that each class appears in a sample by a Bernoulli trial. We show the convergence in law of the proposed estimator. On practical view, an application to real ecological data is presented. The method is then compared to other concurrent methods using simulations. The second part presents the analysis of sheries data collected on the Ouémé river in Benin. We propose a statistical approach for grouping species according to their temporal abundance pro le, to estimate the stock of a species and their catchability by artisanal shing gears.
Ce manuscrit est structuré en deux parties. La première partie composée des chapitres 2 à 4 aborde le problème d'estimation du nombre de classes dans une population avec une application en écologie. La deuxième partie, correspondant au chapitre 5, concerne la mise en œuvre de méthodes statistiques pour analyser des données de pêche. Dans la première partie, nous considérons une population hétérogène subdivisée en plusieurs classes. À partir d'un échantillon, les effectifs d'individus observés par classe, encore appelés abondances, sont utilisés pour estimer le nombre total de classes dans la population. Dans la littérature consacrée à l'estimation du nombre de classes, les méthodes basées sur un mélange de distributions de Poisson semblent être les plus performantes (voir par exemple les travaux de Chao and Bunge (2002) dans le cadre paramétrique et celui de Wang and Lindsay (2005) dans un cadre non paramétrique): La mise en œuvre de ces approches sur des données réelles met en évidence que la distribution des abondances peut être approchée par une distribution convexe. Nous proposons une approche non paramétrique pour estimer la distribution des abondances sous contrainte de convexité. Cette contrainte dé finit un cadre théorique d'estimation d'une densité discrète. Le problème d'estimation du nombre de classes est donc abordé en deux volets. Nous montrons d'une part l'existence et l'unicité d'un estimateur d'une densité discrète sous la contrainte de convexité. Sous cette contrainte, nous démontrons qu'une densité discrète s'écrit comme un mélange de densités triangulaires. À partir de l'algorithme de réduction du support proposé par Groeneboom et al. (2008), nous proposons un algorithme exact pour estimer les proportions dans le mélange. D'autre part, la procédure d'estimation d'une densité discrète convexe nous sert de cadre pour l'estimation de la distribution tronquée en zéro des observations d'abondance. L'estimation de la loi tronquée obtenue est ensuite prolongée en zéro pour estimer la probabilité qu'une classe ne soit pas observée. Ce prolongement en zéro est fait de façon à annuler la proportion de la première composante dans le mélange de densités triangulaires. Nous aboutissons à une estimation du nombre de classes à l'aide d'un modèle binomial en supposant que chaque classe apparaît dans un échantillon par une épreuve de Bernoulli. Nous montrons la convergence en loi de l'estimateur proposé. Sur le plan pratique, une application aux données réelles en écologie est présentée. La méthode est ensuite comparée à d'autres méthodes concurrentes à l'aide de simulations. La seconde partie présente l'analyse des données de pêche collectées dans le fleuve Ouémé au Bénin. Nous proposons une démarche statistique permettant de regrouper les espèces selon leur pro l temporel d'abondances, d'estimer le stock d'une espèce ainsi que leur capturabilité par les engins de pêche artisanale.