Development of geostatistical models using Stochastic Partial Differential Equations
Développement de modèles géostatistiques à l'aide d'équations aux dérivées partielles stochastiques
Résumé
This dissertation presents theoretical advances in the application of the Stochastic Partial Differential Equation (SPDE) approach in Geostatistics. This recently developed approach consists in interpreting a regionalised data-set as a realisation of a Random Field satisfying a SPDE. Within the theoretical framework of Generalized Random Fields with a mean-square analysis, we are able to describe with a great generality the influence of a linear SPDE over the covariance structure of its potential solutions. A criterion of existence and uniqueness of stationary solutions for a wide-class of conveniently defined linear SPDEs has been obtained, together with an expression for the related spectral measures. This result allows to encompass a great variety of already known relationships between stationary covariance models and SPDEs. It also allows us to obtain new stationary covariance models that are easily related to SPDEs, and to propose SPDEs for some already known covariance models such as the Stein model and the $J-$Bessel model. We apply these results to construct spatio-temporal covariance models having non-trivial properties. By analysing evolution equations presenting an arbitrary fractional temporal derivative order, we have been able to develop non-separable models with controllable non-symmetric conditions and separate regularity over space and time. We present results concerning stationary solutions for physically inspired SPDEs such as the advection-diffusion equation, the Heat equation, some Langevin equations and the Wave equation. We also present developments on the resolution of a first order evolution equation with initial condition. We then study a method of non-conditional simulation of stationary models within the SPDE approach, following the resolution of the associated SPDE through a convenient PDE numerical solver. This simulation method, whose practical applications are already present in the literature, can be catalogued as a spectral method. It consists in obtaining an approximation of the Fourier Transform of the stationary Random Field, using a procedure related to the classical development on Fourier basis, and for which the computations can be efficiently obtained through the use of the Fast Fourier Transform. We have theoretically proved the convergence of this method in suitable weak and strong senses. We show how to apply it to numerically solve SPDEs relating the stationary models developed in this work, and we present a qualitative error analysis in the case of the Matérn model. Illustrations of models presenting non-trivial properties and related to physically driven equations are then given.
Ces travaux présentent des avancées théoriques pour l'application de l'approche EDPS (Équation aux Dérivées Partielles Stochastique) en Géostatistique. On considère dans cette approche récente que les données régionalisées proviennent de la réalisation d'un Champ Aléatoire satisfaisant une EDPS. Dans le cadre théorique des Champs Aléatoires Généralisés avec une analyse en moyenne-quadratique, nous avons décrit avec une grande généralité l'influence d'une EDPS linéaire sur la structure de covariance de ses éventuelles solutions. Un critère d'existence et d'unicité des solutions stationnaires pour une classe assez large d'EDPSs linéaires a été obtenu, ainsi que des expressions pour les mesures spectrales reliées. Ce résultat nous permet de rassembler dans un cadre unifié un grand nombre de liens déjà connus entre modèles de covariance stationnaires et EDPSs. Il nous permet en outre d'obtenir de nouveaux modèles de covariance stationnaires immédiatement reliés à des EDPSs, et de proposer des EDPSs pour des modèles de covariance déjà connus comme le modèle de Stein et le modèle J-Bessel. Nous appliquons ces résultats à la construction de modèles de covariance spatio-temporels présentant des propriétés intéressantes. À travers l'analyse des équations d'évolution comprenant un opérateur différentiel temporel d'ordre fractionnaire arbitraire, nous avons développé des modèles non-séparables ayant des conditions d'asymétrie et de régularités spatiale et temporelle séparées contrôlables. Nous présentons des résultats concernant des solutions stationnaires pour des EDPSs issues de la physique, telle que l'équation d'advection-diffusion, l'équation de la chaleur, quelques équations de Langevin, et l'équation d'onde. Nous présentons aussi des développements pour la résolution des modèles d'évolution de première ordre ayant une condition initiale. Puis, nous étudions une méthode de simulation non-conditionnelle pour des modèles stationnaires dans le cadre de l'approche EDPS. Pour cela, nous nous inspirons de la résolution de l'EDPS associée moyennant une méthode de résolution numérique des EDP choisie de manière appropriée. Cette méthode de simulation, dont son application pratique est déjà présente dans la littérature, peut être considérée comme une méthode spectrale. Elle consiste à obtenir une approximation de la Transformée de Fourier du Champ Aléatoire stationnaire par une procédure intimement reliée au développement classique en base de Fourier, et pour laquelle nous pouvons obtenir des méthodes de calcul efficaces grâce à la Transformée de Fourier Rapide. Nous avons démontré théoriquement la convergence de cette méthode dans aux sens faible et forte dans des conditions appropriées. Nous montrons comment appliquer cette méthode pour la résolution numérique des EDPSs reliant les modèles stationnaires développés dans ces travaux, et nous présentons une analyse qualitative de l'erreur pour le cas du modèle Matérn. Des illustrations de modèles présentant des propriétés non-triviales et reliés à des équations de la physique sont alors présentées.
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Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)
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