Tame Corformality and Formality of Finite-Dimension CW-Complexes

Coformalité modérée et formalité des CW-complexes de dimension finie

Yannis Haralambous (1)

1 Université de Lille, Sciences et Technologies

Tame homotopy theory has been introduced by W.G. Dwyer in 1979. It allows to take into consideration a part of torsion in homotopy groups, while keeping techniques of rational homotopy. The purpose of our work is to study what happens, in this context, to the two notions of formality and coformality that have been defined in rational homotopy. The first part consists in building a tool appropriate to the situation: a theory of perturbation of differential Lie algebras over a subring of Q containing 1/2 and 1/3. Tame noncoformality can then be shown by the existence of perturbations; for example, some suspensions are not tame coformal. We study formality for finite-dimensional CW-complexes, not over a ring system but over a ring R, like this is done by D. Anick. When the space is without homological torsion, we obtain a situation analogous to the one of the rational frame: obstructions to R-formality are Harrison cohomology classes; R-formality can be read through the differential of the Adams-Hilton R-model. To show these results we first generalize a theorem by Barr connecting Hochschild and Harrison cohomologies. We also provide a first approach to the study of R-formality of spaces with homological torsion, as differential Lie algebras.

Introduite par W.G. Dwyer en 1979, la théorie de l'homotopie modérée permet de prendre en compte une partie de la torsion des groupes d'homotopie, tout en conservant les techniques de l'homotopie rationnelle. Le but de ce travail est d'étudier ce que deviennent, dans ce contexte, les deux notions de formalité et coformalité existant en homotopie rationnelle. La première partie consiste en l'établissement d'un outil adapté à la situation: une théorie de perturbation en algèbres de Lie différentielles sur un sous-anneau de Q, contenant 1/2 et 1/3. La non-coformalité modérée peut alors être mise en évidence par l'existence de perturbations; par exemple, certaines suspensions ne sont pas coformelles modérées. L'étude de la formalité est menée pour les CW-complexes de dimension finie, non pas sur un système d'anneaux, mais sur un anneau R, comme le fait D. Anick. Lorsque l'espace est sans torsion homologique, nous obtenons une situation analogue à celle du cadre rationnel: les obstructions à la R-formalité sont des classes de cohomologie de Harrison; la R-formalité se lit sur la différentielle du R-modèle d'Adams-Hilton. Pour démontrer ces résultats nous généralisons d'abord un théorème de Barr reliant les cohomologies de Hochschild et de Harrison. Nous fournissons également une première approche à l'étude, en algèbres de Lie différentielles, de la R-formalité des espaces avec torsion homologique.

Mots clés: Tame coformality; Harrison Cohomology; Hochschild Cohomology

Mots clés: Cohomologie de Harrison; Cohomologie de Hochschild; Coformalité modérée; CW-complexes

Domaines: Topologie algébrique [math.AT]

Yannis Haralambous. Coformalité modérée et formalité des CW-complexes de dimension finie. Topologie algébrique [math.AT]. Université des Sciences et Techniques de Lille Flandres Artois, 1990. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-02099853⟩