Vicinity and stability of periodic solutions of Hamiltonian systems

Voisinage et stabilité des solutions périodiques des systèmes hamiltoniens

Larbi El Bakkali (1, 2)

1 Modeling and Simulation of Mechanical Systems Laboratory
2 Observatoire de Paris

In the dynamical systems the study of the vicinity and the stability of a periodic solution begins usually by the “first-order study” of the variational system. The first step leads either to the exponential stability or to the exponential instability or to the “critical case” in which the largest Liapounov characteristic exponent is zero. In this third case it becomes necessary to consider the higher order terms. Most critical cases appear in Hamiltonian, problems and the study of large order terms begins by several simplifications that are presented in chapters I and II. These simplifications lead to the near –resonance theorem and to the adjacent useful notions : quasi-integrals, positive resonances etc … that allow a general classification of the types of stability and instability. The chapters III and IV apply these theoretical results to the Lagrangian motions of the 3-body problem. The results are very different according the case of interest. The restricted circular problem is entirely solved (planar case) or almost entirely solved (three-dimensional case).

Dans les systèmes dynamiques l'étude du voisinage et de la stabilité d'une solution périodique commence habituellement par l'étude du premier ordre, c'est-à-dire l'étude du système variationnel linéarisé. Ce premier pas conduit souvent soit à la stabilité exponentielle soit à l'instabilité exponentielle mais il peut aussi, assez fréquemment, conduire à des cas critiques ou le plus grand exposant caractéristique de Liapounov est nul. Il est alors nécessaire de considérer les termes d'ordre élevé. Ce sont surtout les problèmes hamiltoniens qui conduisent à des cas critiques et l'étude des termes d'ordre élevé y commence par une série de simplifications présentées dans les chapitres I et II. Ces simplifications conduisent au théorème de quasi-résonance et aux notions commodes qui y sont associées: quasi-intégrales, résonances positives etc... qui permettent une classification générale des types de stabilité et d'instabilité. Les chapitres III et IV appliquent ces résultats théoriques aux mouvements de Lagrange du problème des 3 corps. Les résultats diffèrent beaucoup selon les cas étudiés : le cas du problème restreint circulaire est entièrement traité (cas plan) ou presque entièrement (cas tri-dimensionnel). Dans les cas non restreint (3 masses quelconques) et/ou non circulaire (3 masses en mouvement elliptiques), l'étude fournit seulement les résultats principaux : zones critiques, résonances d'ordre 3. Le cas elliptique tri-dimensionnel possède une résonance générale d'ordre 4 qui menace de détruire la stabilité dans une grande part des zones critiques.

Mots clés: astronomy

Mots clés: Systèmes hamiltoniens; Problème à trois corps; Lagrange; Équations de

Domaines: Astrophysique [astro-ph]

Larbi El Bakkali. Voisinage et stabilité des solutions périodiques des systèmes hamiltoniens. Astrophysique [astro-ph]. Observatoire de Paris, 1990. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-02095283⟩