Fluids of second and third grade in three dimensions : global solution and regularity
FLUIDES DE SECOND ET TROISIEME GRADE EN DIMENSION TROIS : SOLUTION GLOBALE ET REGULARITE
Résumé
This thesis focuses on the time-dependent problems of second and third grade fluids, in
three dimensions, as regards global existence in time of the weak solution and its regularity.
Also we consider a particular case of the stationary problem of second grade
fluids, in three dimensions. We study these problems in a bounded domain of IR3, at first simply connected,
subsequently multiply-connected, a case not considered in previous works.
In the first part, we show that the decomposition method with special basis, introduced
by D. Cioranescu and E. H. Ouazar, allows us to prove global existence in time of the weak
solution for second grade fluids in the general case ( a1 + a2 different from 0), in three dimensions,
with small data. Contrary to the simpler case, where a1 + a2 = 0, recently studied by
D. Cioranescu and V. Girault, the exponential decay with respect to time of the H1 norm
of velocity is not obtained for all data. This fact, which led some authors to assert, in
contradiction to our work, that the method of decomposition does not apply to the case
where a1+a 2 different from 0, complicates substantially the proof of the existence of the solution. The
regularity results, which lead, in particular, to a classical solution, are less straightforward
than in the case where a1 + a2 = 0 because of a transport equation, which is much more
complex.
The second part is devoted to the stationary problem of second grade, in the case
where a1 + a2 = 0, in three dimensions. In relation to the problem in two dimensions,
studied by E. H. Ouazar, the H3 norm of the velocity, in three dimensions, is not bounded
for all data. However, by a special method, using together a H1 bound of the velocity, a
"pseudo continuous dependence" with respect to the data (effective for a small H3 norm
of the velocity) and a polynomial inequality (verified by the H3 norm of the velocity), we
show existence, uniqueness, continuous dependence with respect to the data and regularity
of the solution, with small data.
Finally, the third part deals with the problem of third grade fluids, in three dimensions,
but without assuming a condition, which, in the C. Amrouche and D. Cioranescu work,
gave a H1 bound of the velocity for all data. By a method similar to that of the first part,
given that the difficulties are the same, we obtain, with a few more technical complications,
the same types of results as for the second grade fluids.
iii
Dans ce travail nous nous interessons aux problemes d'evolution des fluides de grade
deux et trois, en dimension trois, quant a la question de l'existence globale en temps
de la solution faible et de sa regularite. Nous considerons, egalement, un cas particulier
du probleme stationnaire des fluides de grade deux, en dimension trois. Nous etudions
ces problemes dans un domaine borne de IR3, dans un premier temps simplement connexe,
dans un deuxieme temps non simplement connexe, cas non envisage dans les travaux
anterieurs.
Dans une premiere partie, nous montrons que la methode de decomposition avec base
speciale introduite par D. Cioranescu et E. H. Ouazar, permet de demontrer l'existence
globale en temps de la solution faible pour des fluides de grade deux dans le cas general
( a1 + a2 different de 0), en dimension trois, avec des donnees petites. Contrairement au cas plus
simple a1 + a2 = 0, recemment etudie par D. Cioranescu et V. Girault, la decroissance
exponentielle en fonction du temps de la norme H1 de la vitesse n'est pas obtenue pour
toute donnee. Ce fait, qui a conduit certains auteurs a affirmer, en contradiction avec notre
travail, que la methode de decomposition ne s'applique pas au cas a1 + a2 different de 0, complique
substantiellement la demonstration d'existence de la solution. Les resultats de regularite,
qui conduisent, en particulier, a une solution au sens classique, sont obtenus moins directement
que dans le cas a1 + a2 = 0, a cause d'une equation de transport beaucoup plus
complexe.
La deuxieme partie est consacree au probleme stationnaire de grade deux, dans le cas
a1 + a2 = 0, en dimension trois. Par rapport au probleme en dimension deux, etudie par
E. H. Ouazar, la norme H3 de la vitesse, en dimension trois, n'est pas bornee pour toute
donnee. Cependant, par une methode speciale, utilisant conjointement une majoration H1
de la vitesse, une "pseudo continuite" par rapport a la donnee (effective pour une norme
de la vitesse dans H3 petite) et une inegalite polynômiale (verifee par la norme H3 de
la vitesse), nous montrons l'existence, l'unicite, la dependance continue par rapport a la
donnee et la regularite de la solution, pour une donnee petite.
Enfin, la troisieme partie etudie le probleme des fluides de grade trois, en dimension
trois, mais sans supposer une condition qui, dans le travail de C. Amrouche et D.
Cioranescu, donnait une majoration H1 de la vitesse pour toute donnee. Les difficultes,
dans le cas du grade trois, sont pratiquement les memes que pour le grade deux, aussi la
methode d'etude, dans cette partie, est similaire a celle de la premiere partie, avec quelques
complications, d'ordre technique, supplementaires.
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