Complétions d'intervalles minimales
Minimal interval completions
Résumé
Pathwidth and treewidth have been introduced by Robertson and Seymour in their work on graph minors. Informally, pathwidth (resp. treewidth) measures the "distance" between a given graph and the class of paths (resp. trees). Given an arbitrary graph G=(V,E), an interval graph H=(V,F) containing G is called an interval completion of G. Computing pathwidth comes to computing an interval completion of minimum cliquesize of the input graph. Unfortunately the pathwidth problem is NP-hard. We focus on minimal interval completions of G, that is interval completions H such that no proper subgraph of H is an interval completion of G. We give several algorithms for computing minimal interval completions of an input graph, an also an algorithm computing a minimal proper interval completion. Eventually, we show that pathwidth can be polinomially computed for circular-arc graphs.
La largeur linéaire et la largeur arborescente ont été introduites par Robertson et Seymour dans leurs travaux sur les mineurs de graphes. De manière informelle, la largeur linéaire (resp. la largeur arborescente) d'un graphe mesure l'écart entre ce graphe et la classe des chaînes (des arbres). Les deux paramètres se sont révélés très puissants de point de vue algorithmique, car de nombreux problèmes NP-difficiles deviennent polynomiaux lorsque l'on se restreint à des classes de graphes de largeur linéaire ou de largeur arborescente bornée. Etant donné un graphe G=(V,E) quelconque, un graphe d'intervalles H=(V,F) contenant G est appelé complétion d'intervalles de G. Calculer la largeur linéaire de G revient à trouver une complétion d'intervalles H, tout en minimisant la clique maximum de H. Le problème étant NP-difficile, nous calculerons des complétions d'intervalles minimales, où l'on demande seulement que l'ensemble d'arêtes rajoutées F\E soit minimal par inclusion parmi toutes les complétions possibles. Une approche similaire, à travers les triangulations minimales, est fortement utilisée pour comprendre et calculer la largeur arborescente. Ce mémoire présente nos résultats sur les complétions d'intervalles minimales. Nous donnons trois algorithmes calculant une complétion d'intervalles minimale, basés sur des approches différentes. Nous présentons également un algorithme calculant une complétion d'intervalles propres minimale. Enfin, nous montrons que la largeur linéaire des graphes d'intervalles circulaires peut être calculée en temps polynomial.
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