INTEGRATING THE WIGNER DISTRIBUTION ON SUBSETS OF THE PHASE SPACE, A SURVEY

INTEGRER LA FONCTION DE WIGNER SUR UN SOUS-ENSEMBLE DE L'ESPACE DES PHASES, INVENTAIRE

Nicolas Lerner (1)

1 SU - Sorbonne Université

We review several properties of integrals of the Wigner distribution on subsets of the phase space. Along our way, we provide a theoretical proof of the invalidity of Flandrin's conjecture, a fact already proven via numerical arguments in our joint paper [4] with B. Delourme and T. Duyckaerts. We use also the J.G. Wood & A.J. Bracken paper [37], for which we offer a mathematical perspective. We review thoroughly the case of subsets of the plane whose boundary is a conic curve and show that Mehler's formula can be helpful in the analysis of these cases, including for the higher dimensional case investigated in the paper [27] by E. Lieb and Y. Ostrover. Using the Baire Category Theorem, we show that, generically, the Wigner distribution of a pulse in $L^2(\mathbb R^n)$ does not belong to $L^1(\mathbb R^{2n})$, providing as a byproduct a large class of examples of subsets of the phase space R 2n on which the integral of the Wigner distribution is infinite. We study as well the case of convex polygons of the plane, with a rather weak estimate depending on the number of vertices, but independent of the area of the polygon.

Nous passons en revue les propriétés des intégrales de la fonction de Wigner sur des sous-ensembles de l'espace des phases. En particulier, nous donnons une démonstration "abstraite" de l'invalidité de la conjecture de Flandrin, un résultat déjà connu après le papier [4] en commun avec B.Delourme and T.Duyckaerts. Nous utilisons également l'article [37], de J.G.Wood & A.J.Bracken, avec une perspective mathématique. Nous examinons en détail le cas des sous-ensembles dont la frontière est une conique et montrons que la formule classique de Mehler permet de donner une démonstration de ces cas, y compris pour les questions en dimension supérieure, étudiés notamment dans l'article [27] de E.Lieb & Y.Ostrover. En utilisant le lemme de Baire, nous montrons que, génériquement, la fonction de Wigner d'une fonction $u$ dans $L^2(\mathbb R^n)$ n'appartient pas à $L^1(\mathbb R^{2n})$, ce qui implique l'existence d'une vaste classe d'exemples de sous-ensembles sur lesquels l'intégrale de la fonction de Wigner est infinie. Nous étudions également le cas des polygones convexes du plan, avec une estimation dépendant du nombre de sommets, mais indépendante de la surface du polygone.

Domaines: Mathématiques [math]

Nicolas Lerner. INTEGRATING THE WIGNER DISTRIBUTION ON SUBSETS OF THE PHASE SPACE, A SURVEY. 2023. ⟨hal-03145518v3⟩