Convergence dans les modèles fractionnaires
Résumé
Nous rappelons les résultats de Cramér et Leadbetter (resp. de S.M. Berman) concernant
la convergence (resp. la vitesse de convergence) de fonctionnelles non linéaires générales de
processus Gaussiens stationnaires.
Ceci étant fait, nous utilisons cette étude pour appréhender le devenir asymptotique de
fonctionnelles générales des accroissements du mouvement Brownien fractionnaire (mBf) de
paramètre de Hurst H, 0<H<1. Puis en considérant des fonctionnelles particulières nous
proposons diverses applications.
La première propose des estimateurs du paramètre H vérifiant un TCL.
Un deuxième type d’applications concerne l’estimation de paramètres dans des modèles
dirigés par un mBf. Plus précisément, pour une ”pseudo-diffusion” générale nous exhibons
des estimateurs fonctionnels de la variance σ(·) et étudions leurs propriétés. Nous regardons
ensuite des modèles particuliers où la variance ainsi que la dérive de la pseudo-diffusion ont des
formes spécifiées et proposons des estimateurs ponctuels simultanés de σ(·) et de H vérifiant
un TCL ainsi que des tests spécifiant la forme de la variance σ(·).
Enfin, dans une troisième partie nous expliquons comment, via le théorème de Komlos-Major-Tusnady,
nos techniques nous permettent de décrire le comportement asymptotique de
fonctionnelles du pont empirique. Ce faisant nous appliquons ces résultats en estimation de
densité en explicitant, comme l’ont fait avant nous Csörgo et Horvath, le devenir asymptotique de la
déviation d’ordre p d’une densité que nous utiliserons ensuite pour décrire celui
du risque Kullback.