Descent methods for design optimization under uncertainty
Méthodes de descente pour l'optimisation sous incertitudes
Résumé
This paper is about optimization under uncertainty, when the uncertain parameters are modeled through random variables. Contrary to traditionnal robust approaches which deal with a deterministic problem through a worst-case scenario formulation, stochastic algorithms presented introduce the distribution of the random variables modeling the uncertainty. For mono objective problem such methods are today classical, based on the Robbins-Monro algorithm. When several objectives are involved the optimization problem becomes much harder and the few available methods in the literature are based on genetic approach coupled with Monte-Carlo approaches which are numerically very expensive. We present a new algorithm for solving the expectation formulation of stochastic smooth or nonsmooth multiobjective optimization problems. The proposed method is an extension of the classical stochastic gradient algorithm to multi-objective optimization using the properties of a common descent vector. The mean square and the almost sure convergence of the algorithm are proven. The algorithm effciency is illustrated and assessed on an academic example.
Cet article traite des problèmes d'optimisation sous incertitudes, ces incertitudes étant modélisées par des variables aléatoires. L'optimisation robuste, utilisée dans les applications industrielles, permet de se ramener à une formulation classique du problème, introduisant le domaine d'incertitude et permettant l'utilisation d'algorithmes standards. Ici nous présentons des approches dites stochastiques qui utilisent la connaissance de la distribution des variables aléatoires et qui introduisent l'espérance des fonctions objectifs qui sont alors des quantités aléatoires. Pour les problèmes mono-objectif de telles approches sont basées sur l'algorithme de Robbins-Monro, on peut citer par exemple l'algorithme du gradient stochastique. Pour les problèmes d'optimisation multi-objectifs les quelques approches apparaissant dans la littérature sont basées sur l'emploi d'algorithmes génétiques couplés à des approches de type Monte-Carlo pour l'estimation des espérances. Elles sont très couteuses numériquement. Nous proposons ici un nouvel algorithme qui ne nécessite pas la construction d'estimateurs pour les fonctions objectifs et qui est basé sur l'existence et la construction d'une direction commune de descente. Quelques exemples sont données en guise d'illustration.
Origine : Accord explicite pour ce dépôt