An application of excursion theory to a degenerate reflected diffusion
Une application de la théorie des excursions à une diffusion réfléchie dégénérée
Résumé
We consider the R²-valued reflected stochastic differential equation associated with the degenerated differential operator (1/2)∂²/∂x²+x∂/∂y. We study the excursion phenomenon around the point (0, 0). We are able to identify the law of the inverse of the local time as a stable subordinator with order 1/4 and to give for it an occupation time formula. These facts enable us to study the behavior of the law of the process near the point (0, 0) and to refine, in our case, results obtained by Krée (1985) by means of analytical methods.
Nous considérons l'équation différentielle stochastique réfléchie à valeur dans R² associée à l'opérateur différentiel dégénéré (1/2)∂²/∂x²+x∂/∂y. On étudie alors le phénomène d'excursion autour du point origine. En particulier, on peut identifier la loi de l'inverse du temps local comme un subordinateur stable d'ordre 1/4 et en donner une formule du type temps d'occupation. Ceci permet alors d'étudier le comportement de la loi du processus au voisinage du point origine pour préciser, dans ce cas particulier, des résultats obtenus par Krée (1985) grâce à des méthodes analytiques.