A propos de l'algèbre de Hopf des mots tassés WMat

Cécile Mammez (1)

1 LMPA - Laboratoire de Mathématiques Pures et Appliquées Joseph Liouville

In this article we study the packed words Hopf algebra WMat introduced by Duchamp, Hoang-Nghia et Tanasa. We start by explaining that WMat is not cofree, giving its antipode and describing its graded dual. We consider then a Hopf sub-algebra of permutations called SH. Its graded dual SH ⊛ has a quadri-algebra structure, so it has a double dendriform algebra structure too. Thereafter, we introduce ISPW, a Hopf algebra of increasing strict packed words. It is graded, connected and cocommutative so is isomorphic to the enveloping algebra of its primitive elements. We describe some families of primitive elements. We prove that ISPW and non commutative symmetric functions are isomorphic. We define then an extended compositions Hopf algebra Ce. It is not cocommutative but its primitive elements and those from ISPW are linked. We give an interpretation of Ce in terms of a semi-direct coproduct Hopf algebra. By using this, we can define two actions groups. We finish by giving an explicit isomorphism between ISPW ⊛ and QSym and another one between ISPW and NSym.

Dans cet article, on étudie l'algèbre de Hopf des mots tassés WMat introduite par Duchamp, Hoang-Nghia et Tanasa. Pour cela on commence par considérer WMat à proprement parlé (absence de coliberté et description du dual). Puis, on s'intéresse à une sous-algèbre de Hopf de permutations, notée SH, dont le dual SH ⊛ est muni d'une structure de quadri-algèbre et donc d'une double structure d'algèbre dendriforme. On introduit par la suite ISPW, une algèbre de Hopf de mots tassés stricts croissants. Son caractère cocommutatif pousse à s'inté-resser à ses éléments primitifs. On en décrit quelques familles. On montre ensuite que ISPW et l'algèbre de Hopf NSym des fonctions symétriques non commutatives sont isomorphes. On définit par la suite une algèbre de Hopf quotient de compositions étendues Ce. Celle-ci n'est pas cocommutative mais ses éléments primitifs sont liés à ceux de ISPW. De plus, on exprime Ce comme un coproduit semi-direct d'algèbres de Hopf. Cette construction met à jour une coaction permettant par la suite de définir deux actions de groupes. On termine par la construction d'un isomorphisme explicite entre ISPW ⊛ et QSym conduisant à un isomorphisme explicite entre ISPW et NSym.

Mots clés: combinatorial Hopf algebras; packed words; increasing strict packed words; semi-direct coproduct; morphisms; quasi-symmetric functions

Domaines: Combinatoire [math.CO]

Cécile Mammez. A propos de l'algèbre de Hopf des mots tassés WMat. 2017. ⟨hal-01589257v2⟩