Mouvements presque-périodiques d'une corde vibrante en présence d'un obstacle fixe, rectiligne ou ponctuel

Henri Cabannes (1) , Alain Haraux (2)

1 LMT - Laboratoire de Mécanique Théorique
2 UPMC - Université Pierre et Marie Curie - Paris 6

Wir behandeln die ebene Bewegung einer schwingenden Saite, die an beiden Enden festgehalten ist, unter der Anwesenheit eines geraden festen Hindernisses, das parallel zur Gleichgewichtslage der Saite ausgerichtet ist. Der Rückprall der Saite von dem Hindernis folgt den Gesetzen der idealen Reflektion. Wir zeigen, dass unter ziemlich allgemeinen Bedingungen die Bewegung der ursprünglich ruhenden Saite eine fast periodische Funktion der Zeit ist. Wenn ein bestimmter parameter sich als rationale Zahl erweist ist die Bewegung periodisch und wir berechnen die Periode; wir beweisen dann das Vorhandensein fast periodischer jedoch nichtperiodischer Bewegungen. Im letzten Teil betrachten wir den Fall eines Punkthindernisses mit fester Masse, welches auf der normalen Mittellinie des Saitensegmentes zwischen den festen Enden der Saite liegt; wir erhalten ähnliche Ergebnisse.

We consider the plane motions of a vibrating string, fixed at both ends, in the presence of a straight fixed obstacle, parallel to the equilibrium position of the string. The rebound of the string on the obstacle obeys to the laws of perfect reflection. We prove that, under rather general conditions, the motion of the string initially at rest, is an almost periodic function of the time. When a certain ratio is rational, the motion is periodic and we compute the period; then we prove the existence of almost periodic but non-periodic motions. In a last part we consider the case of a fixed mass-point obstacle placed on the normal mid-line of the segment joining the fixed ends of the string; we obtain similar results.

On considère les mouvements plans d'une corde vibrante, fixée à ses extrémités, en présence d'un obstacle fixe, rectiligne, parallèle à la position d'équilibre de la corde. La corde rebondit sur l'obstacle suivant les lois de la réflexion parfaite. On démontre que, sous des conditions assez générales, le mouvement de la corde, initialement au repos, est une fonction presque-périodique du temps. Lorsqu'un certain rapport est rationnel, le mouvement est périodique, et on calcule la période. On prouve ensuite l'existence de mouvements presque-périodiques mais non périodiques. Dans une dernière partie, on considère le cas d'un obstacle ponctuel fixe, placé sur la médiatrice du segment qui joint les extrémités fixes de la corde; on obtient des résultats analogues.

Domaines: Acoustique [physics.class-ph]; Mécanique [physics.med-ph]

Henri Cabannes, Alain Haraux. Mouvements presque-périodiques d'une corde vibrante en présence d'un obstacle fixe, rectiligne ou ponctuel. International Journal of Non-Linear Mechanics, 1981, 16 (5-6), pp.449-458. ⟨10.1016/0020-7462(81)90019-6⟩. ⟨hal-01527103⟩