Sur le modèle stochastique SIS pour une épidémie dans un environnement périodique

Nicolas Bacaër (1)

1 UMMISCO - Unité de modélisation mathématique et informatique des systèmes complexes [Bondy]

In dem stochastichen SIS Modell für eine Epidemie mit einer Kontaktrate a, mit einer Heilungsrate b < a und mit einer Bevölkerungszahl N ist der Erwartungswert τ der Zeit bis zum Unterbruch der Epidemie so, daß (log τ) /N nach c = b/a−1−log(b/a) konvergiert wenn N unendlich wird. Dieser Artikel behandelt den mehr realistischen Fall, wo die Kontaktrate a (t) eine periodische Funktion ist, dessen Mittelwert größer als b ist. Dann konvergiert (log τ) /N nach einen neuen Grenzwert C, der mit einer periodischen Hamilton-Jacobi Gleichung gebunden ist. Wenn a (t) eine Kosinus-funktion mit einer kleinen Amplitude, mit einer großen Frequenz oder mit einer kleinen Frequenz ist, kann man annähernde analytische Formel für C erhalten, mit Hilfe der Methode von [Assaf et al. (2008) Phys Rev E 78, 041123]. Diese Resultate werden mit numerischen Simulationen veranschaulicht.

Dans le modèle stochastique SIS pour une épidémie avec un taux de contact a, un taux de guérison b < a et une taille de population N , le temps moyen jusqu'à extinction τ est tel que (log τ)/N converge vers c = b/a − 1 − log(b/a) lorsque N tend vers l'infini. Cet article considère le cas plus réaliste où le taux de contact a(t) est une fonction périodique dont la moyenne est supérieure à b. Alors (log τ)/N converge vers une nouvelle limite C, qui est liée à une équation de Hamilton-Jacobi périodique en temps. Lorsque a(t) est une fonction cosinus avec une petite amplitude, avec une grande fréquence ou avec une fréquence très petite, on peut obtenir des formules approchées pour C de manière analytique en suivant la méthode utilisée par [Assaf et coll. (2008) Population extinction in a time-modulated environment. Phys Rev E 78, 041123]. Ces résultats sont illustrés par des simulations numériques.

Domaines: Mathématiques [math]; Santé publique et épidémiologie

Nicolas Bacaër. Sur le modèle stochastique SIS pour une épidémie dans un environnement périodique. 2015. ⟨hal-01265563v5⟩