Development and stability analysis of the inverse Lax-Wendroff boundary treatment for central compact schemes

François Vilar (1) , Chi-Wang Shu (1)

1 Department of Applied Mathematics

In this paper, we generalize the so-called inverse Lax−Wendroff boundary treatment [S. Tan and C.-W. Shu, J. Comput. Phys. 229 (2010) 8144–8166] for the inflow boundary of a linear hyperbolic problem discretized by the recently introduced central compact schemes. The outflow boundary is treated by the classical extrapolation and a stability analysis for the resulting scheme is provided. To ensure the stability of the considered schemes provided with the chosen boundaries, the G-K-S theory [B. Gustafsson, H.-O. Kreiss and A. Sundström, Math. Comput. 26 (1972) 649–686] is used, first in the semidiscrete case then in the fully discrete case with the third-order TVD Runge−Kutta time discretization. Afterwards, due to the high algebraic complexity of the G-K-S theory, the stability is analyzed by visualizing the eigenspectrum of the discretized operators. We show in this paper that the results obtained with these two different approaches are perfectly consistent. We also illustrate the high accuracy of the presented schemes on simple test problems.

Dans ce papier, nous généralisons les conditions aux limites de type entrée Lax-Wendroff inverse [S. Tan and C.-W. Shu, J. Comput. Phys. 229 (2010) 8144–8166] aux problèmes hyperboliques linéaires discrétisés par les schémas compacts centrés introduits récemment. Les conditions aux limites de type sortie sont elles traitées de manière classique par extrapolation, et une analyse de stabilité du schéma obtenu est alors effectuée. Afin de s'assurer de la stabilité du schéma avec conditions limites, la théorie dite G-K-S [B. Gustafsson, H.-O. Kreiss and A. Sundström, Math. Comput. 26 (1972) 649–686] est utilisée, d'abord dans le cas semi-discret puis dans le cas totalement discret avec une méthode de Runge-Kutta d'ordre 3 TVD comme intégration temporelle. Par la suite, de par la grande complexité algébrique de la théorie G-K-S, la stabilité est également étudiée par visualisation de spectre des valeurs propres des opérateurs discrétisés. Il est montré dans cet article que ces deux types d'analyse de stabilité produisent des résultats consistants. On illustre également la grande précision des schémas présentés sur des cas tests simples.

Mots clés: extrapolation; G-K-S theory; eigenvalue spectrum.; Central compact schemes; initial boundary value problem; inverse Lax- Wendroff

Domaines: Analyse numérique [math.NA]

François Vilar, Chi-Wang Shu. Development and stability analysis of the inverse Lax-Wendroff boundary treatment for central compact schemes. ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis, 2014, pp.Published online. ⟨10.1051/m2an/2014024⟩. ⟨hal-01093678⟩