Study of optimal control problems governed by PDEs and ODEs.
Etude de quelques problèmes de contrôle optimal issus des EDP et des EDO
Résumé
The first part is devoted to the study of strong minima in the setting of optimal control problems governed by semi-linear elliptic and parabolic equations with integral constraints on the final state. The second part studies the minimum time problem for a system describing a chemostat model under a ''triangle'' inputs constraint on the control. An optimal control problem for a chemostat model with two competitive species is also studied. In the third part, we provide an optimal feedback control for a system describing a fed-batch bioreactor with impulsive control. A minimal time problem with a saturating singular arc is also investigated. The fourth part deals with two optimal control problems with periodic constraints on the state. The last chapter is devoted to geometric shape optimization problems under a convexity constraint. Thanks to positive polynomials that can be written as a sum of square, the convexity constraint is transformed into an SDP-constraint which allows to solve the problem using semi-definite optimization.
Le premier chapitre de ce mémoire porte sur l'étude des minimum forts pour des problèmes de contrôle optimal gouvernés par des EDP semi-linéaires elliptiques et paraboliques avec contraintes intégrales sur l'état final. Le second chapitre porte sur l'étude du problème de temps minimal pour un système de type chemostat en présence de points singuliers stationnaires. On y étudie également un problème de contrôle optimal pour un système chemostat avec deux espèces en compétition et qui comporte une courbe de non-contrôlabilité. Le troisième chapitre s'intéresse à la synthèse d'un contrôle optimal par retour d'état pour un problème de temps minimal issu d'un système fed-batch, notamment en présence d'un contrôle impulsionnel. Le quatrième chapitre étudie deux problèmes de contrôle optimal sous contraintes d'état périodiques. Enfin, le dernier chapitre traite de problèmes d'optimisation de forme géométriques sous contraintes de convexité. Cette dernière est formulée comme une contrainte semi-définie, ce qui permet ensuite d'utiliser la programmation SDP pour minimiser la fonction coût.
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