HAL : hal-00722615, version 1

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On certain anisotropic elliptic equations arising in congested optimal transport: local gradient bounds

Lorenzo Brasco (  Auteur correspondant ) 1, Guillaume Carlier 2

(07/2012)

Motivated by applications to congested optimal transport problems, we prove higher integrability results for the gradient of solutions to some anisotropic elliptic equations, exhibiting a wide range of degeneracy. The model case we have in mind is the following: \[ \partial_x \left[(|u_{x}|-\delta_1)_+^{q-1}\, \frac{u_{x}}{|u_{x}|}\right]+\partial_y \left[(|u_{y}|-\delta_2)_+^{q-1}\, \frac{u_{y}}{|u_{y}|}\right]=f, \] for $2\le q<\infty$ and some non negative parameters $\delta_1,\delta_2$. Here $(\,\cdot\,)_+$ stands for the positive part. We prove that if $f\in L^\infty_{loc}$, then $\nabla u\in L^r_{loc}$ for every $r\ge 1$.

1 :	Laboratoire d'Analyse, Topologie, Probabilités (LATP)
	CNRS : UMR6632 – Université de Provence - Aix-Marseille I – Université Paul Cézanne - Aix-Marseille III
2 :	CEntre de REcherches en MAthématiques de la DEcision (CEREMADE)
	CNRS : UMR7534 – Université Paris IX - Paris Dauphine

Domaine

:

Mathématiques/Equations aux dérivées partielles

Mots Clés : Degenerate elliptic equations – Anisotropic problems – Traffic congestion

hal-00722615, version 1

http://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00722615

oai:hal.archives-ouvertes.fr:hal-00722615

Contributeur : Lorenzo Brasco <>

Soumis le : Jeudi 2 Août 2012, 16:15:11

Dernière modification le : Jeudi 2 Août 2012, 16:31:24