HAL : hal-00613637, version 4

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Generalized Forward-Backward Splitting

Hugo Raguet 1, Jalal Fadili 2, Gabriel Peyré 1

(01/07/2011)

This paper introduces the generalized forward-backward splitting algorithm for minimizing convex functions of the form $F + \sum_{i=1}^n G_i$, where $F$ has a Lipschitz-continuous gradient and the $G_i$'s are simple in the sense that their Moreau proximity operators are easy to compute. While the forward-backward algorithm cannot deal with more than $n = 1$ non-smooth function, our method generalizes it to the case of arbitrary $n$. Our method makes an explicit use of the regularity of $F$ in the forward step, and the proximity operators of the $G_i$'s are applied in parallel in the backward step. This allows the generalized forward backward to efficiently address an important class of convex problems. We prove its convergence in infinite dimension, and its robustness to errors on the computation of the proximity operators and of the gradient of $F$. Examples on inverse problems in imaging demonstrate the advantage of the proposed methods in comparison to other splitting algorithms.

1 :	CEntre de REcherches en MAthématiques de la DEcision (CEREMADE)
	CNRS : UMR7534 – Université Paris IX - Paris Dauphine
2 :	Groupe de Recherche en Informatique, Image, Automatique et Instrumentation de Caen (GREYC)
	CNRS : UMR6072 – Université de Caen – Ecole Nationale Supérieure d'Ingénieurs de Caen

Domaine

:

Mathématiques/Optimisation et contrôle Sciences de l'ingénieur/Traitement du signal et de l'image Informatique/Traitement du signal et de l'image

Mots Clés : Forward-backward algorithm – splitting – proximal – convex optimization – image processing – total variation – wavelets

hal-00613637, version 4

http://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00613637

oai:hal.archives-ouvertes.fr:hal-00613637

Contributeur : Gabriel Peyré <>

Soumis le : Jeudi 12 Janvier 2012, 10:18:35

Dernière modification le : Jeudi 12 Janvier 2012, 11:14:26