HAL : hal-00490516, version 5

arXiv : 1006.1713

DOI : 10.1007/s00220-011-1331-9

Fiche détaillée

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Communications in Mathematical Physics 307, 2 (2011) 513-560

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v5 (14-10-2011)

Spectrum of non-Hermitian heavy tailed random matrices

Charles Bordenave 1, Pietro Caputo 2, Djalil Chafai (  Auteur correspondant ) 3

(04/09/2011)

Let (X_{jk})_{j,k>=1} be i.i.d. complex random variables such that |X_{jk}| is in the domain of attraction of an alpha-stable law, with 0< alpha <2. Our main result is a heavy tailed counterpart of Girko's circular law. Namely, under some additional smoothness assumptions on the law of X_{jk}, we prove that there exists a deterministic sequence a_n ~ n^{1/alpha} and a probability measure mu_alpha on C depending only on alpha such that with probability one, the empirical distribution of the eigenvalues of the rescaled matrix a_n^{-1} (X_{jk})_{1<=j,k<=n} converges weakly to mu_alpha as n tends to infinity. Our approach combines Aldous & Steele's objective method with Girko's Hermitization using logarithmic potentials. The underlying limiting object is defined on a bipartized version of Aldous' Poisson Weighted Infinite Tree. Recursive relations on the tree provide some properties of mu_alpha. In contrast with the Hermitian case, we find that mu_alpha is not heavy tailed.

1 :	Institut de Mathématiques de Toulouse (IMT)
	Université Paul Sabatier - Toulouse III – Université Toulouse le Mirail - Toulouse II – Université des Sciences Sociales - Toulouse I – Institut National des Sciences Appliquées de Toulouse – CNRS : UMR5219
2 :	Dipartimento di Matematica [Roma TRE]
	Università degli Studi Roma TRE
3 :	Laboratoire d'Analyse et de Mathématiques Appliquées (LAMA)
	Université Paris Est Marne-la-Vallée – Université Paris XII - Paris Est Créteil Val-de-Marne – CNRS : UMR8050 – Fédération de Recherche Bézout

Domaine

:

Mathématiques/Probabilités Mathématiques/Théorie spectrale

Mots Clés : Spectral theory – Objective method – Operator convergence – Logarithmic potential – Random matrices – Random Graphs – Heavy tailed distributions – alpha-stable laws.

hal-00490516, version 5

http://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00490516

oai:hal.archives-ouvertes.fr:hal-00490516

Contributeur : Djalil Chafai <>

Soumis le : Jeudi 13 Octobre 2011, 17:47:27

Dernière modification le : Mercredi 4 Janvier 2012, 23:40:35