HAL : hal-00398799, version 1

arXiv : 0906.4540

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The Szegö Cubic Equation

Patrick Gérard 1, Sandrine Grellier 2

(24/06/2009)

We consider the following Hamiltonian equation on the $L^2$ Hardy space on the circle, $$i\partial _tu=\Pi(|u|^2u)\ ,$$ where $\Pi $ is the Szegö projector. This equation can be seen as a toy model for totally non dispersive evolution equations. We display a Lax pair structure for this equation. We prove that it admits an infinite sequence of conservation laws in involution, and that it can be approximated by a sequence of finite dimensional completely integrable Hamiltonian systems. We establish several instability phenomena illustrating the degeneracy of this completely integrable structure. We also classify the traveling waves for this system.

1 :	Laboratoire de Mathématiques d'Orsay (LM-Orsay)
	CNRS : UMR8628 – Université Paris XI - Paris Sud
2 :	Mathématiques - Analyse, Probabilités, Modélisation - Orléans (MAPMO)
	Université d'Orléans – CNRS : UMR7349

Domaine

:

Mathématiques/Variables complexes Mathématiques/Equations aux dérivées partielles

Mots Clés : Nonlinear Schrödinger equations – Integrable Hamiltonian systems – Lax pairs – Hankel operators

hal-00398799, version 1

http://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00398799

oai:hal.archives-ouvertes.fr:hal-00398799

Contributeur : Sandrine Grellier <>

Soumis le : Mercredi 24 Juin 2009, 19:33:13

Dernière modification le : Mercredi 24 Juin 2009, 20:33:33