Variational approach to multi-time correlation functions

R. Balian (1) , M. Vénéroni (2)

1 SPhT - Service de Physique Théorique
2 IPNO - Institut de Physique Nucléaire d'Orsay

A variational method is proposed to evaluate the generating functional $ \varphi $ which gives the multi-time correlation functions in equilibrium and non-equilibrium statistical mechanics or field theories. Its definition, $ \varphi = {\rm ln\ Tr} \ D\ A, $ involves the density operator $ D $ describing the initial state and an operator $ A $ depending on the observables of interest (in the Heisenberg picture), on the associated time-dependent sources and on the initial time. Regarded as function of this time, $ A $ is specified by a simple differential equation with the time running backward. Lagrangian multipliers are introduced to account both for this equation and for the one which characterizes $ D. $ Through this procedure $ \varphi $ is obtained as the stationary value of a functional depending on state-like and observable-like trial operators, with a complex time. Within a trial subspace, the resulting approximation optimizes both the initial state and the dynamics. The example of interacting fermions in many-body physics is worked out by restricting the trial objects to exponentials of single-particle operators. This leads to an extended mean-field approximation for the generating functional associated with any set of observables. Expansion in powers of the sources provides a variational approximation for the two-time causal or response functions. The result incorporates both the static and dynamic Hartree-Fock equations as well as the associated RPA equations. It is free of several inconsistencies occurring in the conventional mean-field approximations. ----- Les auteurs proposent une méthode variationnelle très souple pour évaluer la fonction génératrice des fonctions de corrélations d'observables arbitraires dans un système de mécanique quantique général, où l'état initial est une matrice densité arbitraire. L'un des aspects originaux est d'envisager la dépendance des quantités dans la variable temporelle où sont identifiées les représentations de Schrödinger et de Heisenberg. Les données et les équations du mouvement sont traitées comme des contraintes dans ce formalisme en introduisant des multiplicateurs de Lagrange appropriés. Les auteurs présentent à titre d'application l'exemple d'un système de fermions en interaction et trouvent des généralisations des diverses méthodes de champ moyen, statique ou dynamique (approximation de Hartree-Fock stationnaire ou dépendant du temps, méthode des phases aléatoires...). Ils montrent que leur nouvelle théorie est plus cohérente que celles envisagées jusqu'ici. \vskip 20mm \hfill{C. Itzykson}

Domaines: Physique Générale [physics.gen-ph]

R. Balian, M. Vénéroni. Variational approach to multi-time correlation functions. Nuclear Physics B, 1993, 408, pp.445-484. ⟨10.1016/0550-3213(93)90375-Y⟩. ⟨hal-00165879⟩