Large $q$ expansion of the 2D $q$-states Potts model

T. Bhattacharya , R. Lacaze (1) , A. Morel (1)

1 SPhT - Service de Physique Théorique

We present a recursive method to calculate a large $q$ expansion of the 2d $q$-states Potts model free energies based on the Fortuin-Kasteleyn representation of the model. With this procedure, we compute directly the ordered phase partition function up to order 10 in $1/\sqrt{q}$. The energy cumulants at the transition can be obtained with suitable resummation and come out large for $q \lesssim 15$. As a consequence, expansions of the free energies around the transition temperature are useless for not large enough values of $q$. In particular the pure phase specific heats are predicted to be much larger, at $q \lesssim 10$, than the values extracted from current finite size scaling analysis of extrema, whereas they agree very well with recent values extracted at the transition point. ----- Les modèles exactement solubles offrent un cadre idéal pour tester des méthodes numériques qui sont aussi appliquées à des systèmes pour lesquels il n'existe pas de résultat exact. Dans cet article les auteurs étudient le modèle de Potts bi-dimensionnel à $q$-états en utilisant un développement à grand $q$. Après une description détaillée de la méthode, les résultats du développement de l'énergie libre jusqu'au 10ème ordre en $\frac{1}{\sqrt{q}}$ sont présentés. Au point critique $\beta_t= \ln\left(\sqrt{q}+1\right)$ de la transition de phase du premier ordre ils analysent la série avec la méthode des approximants de Padé. Pour $q > 6$, ils donnent les résultats quantitatifs des moments de l'énergie, notamment de la chaleur spécifique. Les différences avec des analyses des résultats de simulations numériques s'expliquent par des effets de taille finie. Il est montré que les analyses en taille finie qui ne sont pas faites au point critique conduisent à des résultats erronés pour un nombre $q$ d'états trop faible. Par contre un dévelopement à grand $q$ est possible à la limite thermodynamique. N. Elstner

Domaines: Physique Générale [physics.gen-ph]

T. Bhattacharya, R. Lacaze, A. Morel. Large $q$ expansion of the 2D $q$-states Potts model. Journal de Physique I, France, 1997, 7, pp.81-103. ⟨10.1051/jp1:1997127⟩. ⟨hal-00163728⟩