Some combinatorial results around the Littlewood decomposition
Quelques résultats combinatoires autour de la décomposition de Littlewood
Résumé
This manuscript revolves around objects of enumerative combinatorics and more particularly with partitions of integers. Partitions and Young tableaux are combinatorial objects that play an important role in representation theory and symmetric functions. The Robinson--Schensted--Knuth correspondence is a bijective correspondence between permutations and Young tableaux whose number is given by a square formula. We are mainly interested in obtaining square formulas through the Littlewood decomposition, which is a bijection between partitions of integers and a pair consisting of a specific partition, called t-core and a t-uplet of partitions. We first focus on t-core partitions and show how the bijective correspondence between integer partitions and bi-infinite binary words allows us not only to rewrite Macdonald identities, which can be seen as a generalization of the Weyl determinant to infinite affine root systems, but also to obtain q-deformations of Nekrasov--Okounkov formulas. Nekrasov--Okounkov formulas are identities of type ``sum=product'' which appear in various other domains such as representation theory, gauge theory or combinatorics of partitions of integers. These formulas, by their nature, naturally involve t-core partitions. In a second step, we are interested in generalizations of square formulas thanks to the Littlewood decomposition in the particular case of self-conjugate partitions, i.e. partitions whose Ferrers diagram (in French notation) is symmetric with respect to the first bisector of the plane. This allows us to obtain multiplication-addition theorems for self-conjugate partitions, in the line of the work of Han and Ji.
Cette thèse s'intéresse à des objets de combinatoire énumérative et plus particulièrement aux partitions d'entiers. Les partitions et les tableaux de Young sont des objets combinatoires qui jouent un rôle important en théorie des représentations et des fonctions symétriques. La correspondance de Robinson--Schensted--Knuth est une correspondance bijective entre des permutations et des tableaux de Young dont le nombre est donné par une formule d'équerres. On s'intéresse dans ce manuscrit principalement à l'obtention de formules d'équerres par le biais de la décomposition de Littlewood, qui est une bijection entre partitions d'entiers et une paire constituée d'une partition bien spécifique, appelée t-core et d'un t-uplet de partitions. Dans un premier temps, nous nous intéressons aux partitions t-cores et nous montrons comment la correspondance bijective entre partitions d'entiers et mots binaires bi-infinis permet non seulement de réécrire les identités de Macdonald, qui peuvent être vues comme une généralisation du déterminant de Weyl aux systèmes de racines affines infinis, mais aussi d'obtenir des q-déformations de formules de type Nekrasov--Okounkov. Les formules de Nekrasov--Okounkov sont des identités de type ``somme=produit'' qui interviennent dans divers autres domaines tels que la théorie des représentations, la théorie de jauge ou encore la combinatoire des partitions d'entiers. Ces formules, de part leur nature, font intervenir naturellement des partitions t-core. Dans un second temps, nous nous intéressons à des généralisations de formules d'équerres grâce à la décomposition de Littlewood dans le cas particulier des partitions auto-conjuguées, à savoir des partitions dont le diagramme de Ferrers (en notation à la française) est symétrique par rapport à la première bissectrice du plan. Cela permet d'obtenir des théorèmes de multiplication-addition pour les partitions auto-conjuguées, dans la lignée des travaux de Han et Ji.
Origine : Version validée par le jury (STAR)