Regularity for optimal compliance problems with length penalization

Bohdan Bulanyi

Abstract : We investigate the regularity and topological structure of a set minimizing the p-compliance functional with a length penalization. The key feature of our work is that we study the regularity of minimizers for some free boundary type problem with a high codimensional free boundary set. We prove that in any spatial dimension N that is greater than or equal to 2 and for every real number p that is strictly greater than N-1, if S is a minimizer of the p-compliance functional with a length penalization, then S cannot contain closed loops (i.e., homeomorphic images of the unit circle S^{1}), S is C^{1,alpha} regular at almost every point (with respect to the one-dimensional Hausdorff measure) that is in a given open bounded set O, and S cannot contain quadruple points in O, namely, there is no ball centered on S and contained in O such that S in this ball is a union of four distinct C^{1} arcs, each of which meets exactly one of the other three at an angle of 180 degrees, and each of the other two at an angle of 90 degrees. We also prove that in dimension 2 and for every p that is strictly greater than 1, if S is a minimizer of the p-compliance functional with a length penalization containing at least two points, then S is Ahlfors regular up to the boundary for a Lipschitz domain. Finally, we provide a proof of the importance of the connectedness assumption in the statement of the optimal p-compliance problem with length penalization and in the statement of the constrained form of this problem for the existence of solutions under the sharp assumptions. The results of this dissertation generalize some of the results obtained in [CLLS], but also contain better results in dimension 2 and for the special case p = 2 as well. Also, in some sense and in dimension 2, the result of this dissertation can be considered as establishing a link between the result in [CLLS] and the result in [Sle].

Résumé : Nous étudions la régularité et la structure topologique d'un ensemble minimisant la fonctionnelle de p-compliance avec une pénalisation de longueur. La caractéristique clé de notre travail est que nous étudions la régularité des minimiseurs pour certains problèmes de type frontière libre avec un ensemble de frontière libre de grande codimension. Nous prouvons qu'en toute dimension spatiale N supérieure ou égale à 2 et pour chaque nombre réel p strictement supérieur à N-1, si S est un minimiseur de la fonctionnelle de p-compliance avec une pénalisation de longueur, alors S ne peut pas contenir de boucles fermées (c.-à.-d., des images homéomorphes du cercle S^{1}), S est C^{1,alpha} régulier en presque tout point (par rapport à la mesure de Hausdorff unidimensionnelle) qui est dans un ensemble borné ouvert donné O, S ne peut pas contenir de points quadruples dans O, ce qui signifie qu'il n'y a pas de boule centrée sur S et contenue dans O telle que S dans cette boule soit une union de quatre arcs distincts de classe C^{1}, dont chacun rencontre exactement l'un des trois autres à un angle de 180 degrés, et chacun des deux autres à un angle de 90 degrés. Nous montrons également qu'en dimension 2 et pour chaque nombre réel p strictement supérieur à 1, si S est un minimiseur de la fonctionnelle de p-compliance avec une pénalisation de longueur contenant au moins deux points, alors S est Ahlfors régulier jusqu'à la frontière d'un domaine lipschitzien. Enfin, nous fournissons une preuve de l'importance de l'hypothèse de connexité dans l'énoncé du problème de p-compliance avec pénalisation de la longueur et dans l'énoncé de la forme contrainte de ce problème pour l'existence de solutions sous les hypothèses optimales. Les résultats de cette thèse généralisent certains des résultats obtenus dans [CLLS], mais contiennent également de meilleurs résultats en dimension 2 et pour le cas particulier p = 2. Aussi, dans un certain sens et en dimension 2, le résultat de cette thèse peut être considéré comme faisant un lien entre le résultat dans [CLLS] et le résultat dans [Sle].

Regularity for optimal compliance problems with length penalization

Régularité pour des problèmes de compliance optimale avec pénalisation de la longueur

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