Local theory and long time behaviour of solutions of nonlinear Schrödinger equations
Théorie locale et comportement en long temps des solutions des équations de Schrödinger non linéaires
Résumé
In this thesis, we focus on studying local theory and long time behavior of solutions for nonlinear Schr\"odinger equations (NLS), especially derivative nonlinear Schr\"odinger equations (dNLS). We establish local theory for a dNLS with nonvanishing boundary conditions. Moreover, we consider a dNLS on half line with Robin boundary condition at $0$. We prove existence of blow up solutions, stability and instability by blow up of standing waves for this equation. We also obtain some results on existence of multi-solitons, multi kink-solitons for dNLS in $H^1(\R)$. Finally, we consider NLS with triple power nonlinearity and prove instability of algebraic standing waves i.e standing waves with zero frequency for this equation.
Dans cette thèse, nous nous concentrons sur l'étude de la théorie locale et du comportement à long terme des solutions pour les équations de Schr\"odinger non linéaires (NLS), en particulier les équations de Schr\"odinger non linéaires dérivées (dNLS). Nous établissons une théorie locale pour un dNLS avec des conditions aux limites non nulles. De plus, nous considérons un dNLS sur une demi-droite avec une condition aux limites de Robin à $0$. Nous prouvons l'existence de solutions d'explosion, la stabilité et l'instabilité par explosion d'ondes stationnaires pour cette équation. Nous obtenons également des résultats sur l'existence de multi-solitons, multi-kink-solitons pour dNLS dans $H^1(\R)$. Enfin, nous considérons NLS avec une non-linéarité de puissance triple et prouvons l'instabilité des ondes stationnaires algébriques, c'est-à-dire des ondes stationnaires de fréquence nulle pour cette équation.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)