MULTIPLE TIMESCALES IN MICROBIAL INTERACTIONS
ÉCHELLES DE TEMPS MULTIPLES DANS LES INTERACTIONS MICROBIENNES
Résumé
The purpose of this thesis is the theoretical and numerical study of an epidemiological model of multi-strain co-infection. Depending on the situation, the model is written as ordinary differential equations or reaction-advection-diffusion equations.
In all cases, the model is written at the host population level on the basis of a classical susceptible-infected-susceptible system (SIS).
The infecting agent is structured into $N$ strains, which differ according to 5 traits: transmissibility, clearance rate of single infections, clearance rate of double infections, probability of transmission of strains, and co-infection rates.
The resulting system is a large system ($N^2+N+1$ equations) whose complete theoretical study is generally inaccessible. This thesis is therefore based on a simplifying assumption of trait similarity - the so-called quasi-neutrality assumption. In this framework, it is then possible to implement Tikhonov-type time scale separation methods. The system is thus decomposed into two simpler subsystems. The first one is a so-called neutral system - i.e., the value of the traits of all the strains are equal - which supports a detailed mathematical analysis and whose dynamics turn out to be quite simple. The second one is a "replication equation" type system that describes the frequency dynamics of the strains and contains all the complexity of the interactions between strains induced by the small variations in the trait values.
The first work explicitly determines the slow system in an aspatial framework for $N$ strains using a system of ordinary differential equations and justifies that this system describes the complete system well. This system is a replication system that can be described using the $N(N-1)$ fitnesses of interaction between the pairs of strains. It is shown that these fitnesses are a weighted average of the perturbations of each trait.
The second work consists in using explicit expressions of these fitnesses to describe the dynamics of the pairs (i.e. the case $N=2$) exhaustively.
This part is illustrated with many simulations, and applications on vaccination are discussed.
The last work consists in using this approach in a spatialized framework. The SIS model is then a reaction-diffusion system in which the coefficients are spatially heterogeneous. Two limiting cases are considered: The case of an asymptotically small diffusion coefficient and the case of an asymptotically large diffusion coefficient. In the case of slow diffusion, we show that the slow system is a system of type "replication equations", describing again the temporal but also spatial evolution of the frequencies of the strains. This system is of the reaction-advection-diffusion type, the additional advection term explicitly involving the heterogeneity of the associated neutral system. In the case of fast diffusion, classical methods of aggregation of variables are used to reduce the spatialized SIS problem to a homogenized SIS system on which we can directly apply the previous results.
Cette thèse a pour objet l'étude théorique et numérique d'un modèle épidémiologique de co-infection multi-souche. Selon la situation considéré, le modèle s'écrit sous la forme d'un système d'équations différentielles ordinaires ou d'équations de réaction-advection-diffusion.
Dans tous les cas, le modèle s'écrit à l'échelle de la population hôte sur la base d'un classique système susceptibles-infectés-susceptibles (SIS).
L'agent infectueux est structuré en $N$ souches, qui différent selon 5 traits : la transmissibilité, le taux de clairance des infections simples, le taux de clairance des infections doubles, la probabilité de transmission des souches et les taux de co-infection.
Le système obtenu est un système de grande taille ($N^2+N+1$ équations) dont l'étude théorique complète est inaccessible en général. Cette thèse se fonde donc sur une hypothèse simplificatrice de similarité des traits - que l'on nomme hypothèse de quasi-neutralité. Dans ce cadre, il est alors possible de mettre en oeuvre des méthodes de séparations des échelles de temps de type Tikhonov. Le système est ainsi décomposé en deux sous-systèmes plus simple. Le premier est un système dit neutre - c'est-à-dire dans lequel la valeur des traits de toutes les souches sont égales - qui supporte une analyse mathématique détaillée et dont la dynamique s'avère assez simple. Le second se trouve être un système de type "équations de réplication" qui décrit la dynamique en fréquence des souches et contient toute la complexité des interactions entre souche qu'induit les petites variations dans les valeurs des traits.
Le premier travail consiste à déterminer explicitement le système lent dans un cadre aspatial pour N souches faisant intervenir un système d'équations différentielles ordinaires et à justifier, que ce système décrit bien le système complet. Ce système est un système de réplication qui peut être décrit à l'aide des $N(N-1)$ fitnesses d'interaction entre les paires de souche. Il est montré que ces fitnesses sont une moyenne pondéré des perturbations de chaque traits.
Le second travail consiste a utiliser les expression explicite de ces fitnesses pour décrire exhaustivement la dynamique des paires (c'est-à-dire le cas $N=2$).
Cette partie est illustré à l'aide de beaucoup de simulations des application sur la vaccination sont discutées.
Le dernier travail consiste à reprendre cette approche dans un cadre spatialisé. Le modèle SIS est alors un système de réaction-diffusion dans lequelle les coefficients sot spatialement hétérogènes. Deux cas limites sont considérés : Le cas d'un coefficient de diffusion asymptotiquement petit et celui d'un coefficient de diffusion asymptotiquement grande. Dans le cas de la diffusion lente on montre que le système lent est un système de type "équations de réplication" , décrivant à nouveau l'évolution temporelles mais également spatiale des fréquences des souches. Ce système est de type réaction-advection-diffusion, le terme d'advection additionelle faisant intervenir explicitement l'hétérogénéité du système neutre associé. Dans le cas de la diffusion rapide, l'utilisation de méthodes classiques d'aggrrégation des variables sont utilisées pour ramener le problème SIS spatialisé à un système SIS homogénéisé sur lequel les résultats précédents peuvent directement s'appliquer.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)