Partial cubes : completion, compression, embedding
Cubes partiels : complétion, compression, plongement
Résumé
Partial cubes (aka isometric subgraphs of hypercubes) are a fundamental class
of metric graph theory. They comprise many important graph classes (trees,
median graphs, tope graphs of complexes of oriented matroids, etc.), arising
from different areas of research such as discrete geometry, combinatorics or
geometric group theory.
First, we investigate the structure of partial cubes of VC-dimension $2$. We
show that those graphs can be obtained via amalgams from even cycles and full
subdivisions of complete graphs. This decomposition allows us to obtain
various characterizations. In particular, any partial cube can be completed to
an ample partial cube of VC-dimension $2$.
Then, we show that the tope graphs of oriented matroids and complexes of
uniform oriented matroids can also be completed to ample partial cubes of the
same VC-dimension.
Using a result of Moran and Warmuth, we establish that those classes satisfy
the conjecture of Floyd and Warmuth,
one of the oldest open problems in computational machine learning.
Particularly, they admit (improper labeled) compression schemes of size their
VC-dimension.
Next, we describe a proper labeled compression scheme of size $d$ for complexes
of
oriented matroids of VC-dimension $d$, generalizing the result of Moran and
Warmuth for ample sets.
Finally, we give a characterization via excluded pc-minors and via forbidden
isometric subgraphs of partial cubes isometrically embedded into the grid
$\mathbb{Z}^2$ and the cylinder $P_n \square C_{2k}$ for some $n$ and $k > 4$.
Les sous-graphes isométriques d'hypercubes (dit cubes partiels) constituent une
classe centrale de la théorie métrique des graphes.
Ils englobent des familles de graphes importantes (arbres, graphes médians,
graphes de topes de complexes de matroïdes orientés, etc.), provenant
de différents domaines de recherche, tels que la géométrie discrète, la
combinatoire ou la théorie géométrique des groupes.
Nous étudions tout d'abord la structure des cubes partiels
de VC-dimension $2$.
Nous montrons que ces graphes peuvent être obtenus par amalgamations à partir
de cycles et de subdivisions entières des graphes complets.
Cette décomposition nous permet d’obtenir
diverses caractérisations. En particulier, tout cube partiel de VC-dimension
$2$ peut être complété en cube partiel ample de VC-dimension $2$.
Nous montrons ensuite que les graphes de topes des
matroïdes orientés et des complexes de matroïdes orientés uniformes peuvent
aussi être complétés en cubes partiels amples de même VC-dimension.
En utilisant un résultat de Moran et Warmuth, nous établissons que ces classes
vérifient la
conjecture de Floyd et Warmuth, l'une des plus vielles
conjectures en théorie de l'apprentissage. C'est-à-dire qu'elles admettent des
schémas de compression (étiquetés non propres) de taille leur VC-dimension.
Par la suite, nous décrivons un schéma de compression étiqueté propre de
taille $d$ pour les complexes de matroïdes orientés de VC-dimension $d$,
généralisant ainsi le résultat de Moran et Warmuth pour les amples.
Enfin, nous fournissons une caractérisation par pc-mineurs exclus et par
sous-graphes isométriques interdits des cubes partiels plongeables
isométriquement dans la grille $\mathbb{Z}^2$ et
dans le cylindre $P_n \square C_{2k}$ pour un certain $n$ et $k > 4$.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)