Symplectic curves with high self-intersection in symplectic surfaces
Courbes symplectiques de haute auto-intersection dans les surfaces symplectiques
Résumé
We first study symplectically embedded curves in symplectic surfaces with high self-intersection numbers compared to their genus. We prove in two different ways that such a curve completely determines both the diffeomorphism type of the surface in which it is embedded and the embedding itself. The first proof uses Seiberg--Witten theory whereas the second one only involves pseudoholomorphic techniques. We deduce from this result that the contact $3$--manifolds naturally associated with those curves admit a unique strong symplectic filling up to diffeomorphism.
We next examine symplectic sections of geometrically ruled complex surfaces over elliptic curves. We show that such a section is symplectically isotopic to a complex section.
On étudie dans un premier temps les courbes symplectiquement plongées dans les surfaces symplectiques dont les nombres d'auto-intersection sont suffisamment grands par rapport leurs genres. On montre de deux manières différentes qu'une telle courbe détermine à la fois la classe de difféomorphisme de la surface symplectique qui la contient et la manière dont elle est plongée dans cette surface. La première démonstration fait appel à la théorie de Seiberg--Witten, alors que la seconde se restreint aux techniques pseudoholomorphes. On déduit de ce résultat l'unicité à difféomorphisme près des remplissages symplectiques forts des variétés de contact de dimension $3$ naturellement associées à ce type de courbes.
Dans un second temps, on s'intéresse aux sections symplectiques des surfaces complexes géométriquement réglées au-dessus de courbes elliptiques. On montre qu'une telle section est symplectiquement isotope à une section complexe.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)