Hyperbolic surfaces with spikes and decorated Margulis space-times
Surfaces hyperboliques ciliées et espaces-temps de Margulis décorés
Résumé
Margulis spacetimes are complete affine 3-manifolds that were introduced to show that the cocompactness condition of Auslander’s conjecture is necessary. These are Lorentzian manifolds that are obtained as a quotient of the (2,1)-Minkowski space by a free group acting properly discontinuously by affine isometries. Goldman-Labourie-Margulis showed that such a group is determined by a complete hyperbolic metric on a possibly non-orientable finite-type hyperbolic surface together with an infinitesimal deformation of this metric that uniformly lengthens all non-trivial closed curves on the surface. Furthermore, the set of all such infinitesimal deformations forms an open convex cone.Danciger-Guéritaud-Kassel parametrised the moduli space of Margulis spacetimes, with a fixed convex cocompact linear part, using the pruned arc complex. The parametrisation is done by gluing infinitesimal hyperbolic strips along a family of embedded, pairwise disjoint geodesic arcs of the hyperbolic surface that decompose it into topological disks.We generalise this result to complete finite-area hyperbolic surfaces with spikes decorated with horoballs which are closely related to Margulis spacetimes decorated with finitely many pairwise disjoint affine light-like lines. We also prove the analogous result for a hyperbolic surface with undecorated spikes. In addition to that, we show that the full infinitesimal deformation spaces of each of the three “small” surfaces — ideal polygons, once-punctured polygons, one-holed polygons — are parametrised by their corresponding arc complexes. Finally, we generalise compact hyperbolic polygons to include hyperbolic vertices (truncations of hyper-ideal points) and parabolic vertices (ideal points decorated with horoballs). We show the deformation space of such a polygon to be homeomorphic to an open ball. We prove that the subset of the space of all infinitesimal deformations, consisting of those which lengthen every diagonal and edge, is parametrised by the pruned arc complex of the surface by gluing in hyperbolic as well as parabolic and elliptic strips.
Les espaces-temps de Margulis sont des 3-variétés affines complètes qui ont été introduites pour montrer la nécessité de la condition de cocompacité dans la conjecture d’Auslander. Ce sont des variétés Lorentziennes qui sont obtenues par quotient d’un (2,1)-espace de Minkowski par un groupe libre qui agit proprement discontinûment par isométries affines. Goldman-Labourie-Margulis ont montré qu’un tel groupe est déterminé par une métrique hyperbolique complète sur une surface hyperbolique de type fini possiblement non-orientable, munie d’une déformation infinitésimale qui rallonge uniformément toutes les courbes fermées non-triviales de la surface. De plus, l’ensemble de toutes ces déformations infinitésimales forme un cône convexe ouvert.Danciger-Guéritaud-Kassel ont ensuite paramétré l’espace module des espaces temps de Margulis ayant une partie linéaire convexe cocompacte fixée, en utilisant le complexe des arcs “émondé”. Cette paramétrisation est obtenue en recollant des bandelettes hyperboliques infinitésimales le long d’une famille d’arcs géodésiques deux-à-deux disjoints plongés dans la surface et la découpant en disques topologiques.Nous généralisons ce résultat pour les surfaces hyperboliques complètes d’aire finie avec des cils décorés par des horoboules. Ces dernières surfaces sont étroitement liées aux espaces-temps de Margulis décorés par un nombre fini de droites affines de types lumière deux-à-deux disjointes. Nous prouvons également le résultat analogue pour les surfaces hyperboliques ciliées non-décorées. En outre, nous montrons que l’espace entier des déformations infinitésimales de chacune des trois “petites” surface (les polygones idéaux, les polygones une fois épointés, et les polygones une fois troués) sont paramétré par leurs complexes des arcs. Enfin, nous généralisons les polygones compacts hyperboliques pour inclure des sommets hyperboliques (troncatures de points hyper-idéaux) et des sommets paraboliques (points idéaux décorés par des horoboules). Nous prouvons que l’espace de déformations d’un tel polygone est homéomorphe à une boule ouverte. Nous montrons également que le sous-espace de l’espace de toutes les déformations infinitésimales, constitué de celles qui rallongent tous les arcs diagonaux et toutes les arrêtes, est paramétré par le complexe des arcs émondé de la surface, en recollant des bandelettes hyperboliques, elliptiques et paraboliques.
Origine : Version validée par le jury (STAR)