QUILLEN COHOMOLOGY OF ENRICHED OPERADS
COHOMOLOGIE DE QUILLEN DES OPÉRADES ENRICHIES
Résumé
A modern insight due to Quillen, which is further developed by Lurie, asserts that many cohomology theories of interest are particular cases of a single construction, which allows one to define cohomology groups in an abstract setting using only intrinsic properties of the category (or infinity category) at hand. This universal cohomology theory is known as Quillen cohomology. In any setting, Quillen cohomology of a given object is classified by its cotangent complex.
The main purpose of this document is to study Quillen cohomology of enriched operads, when working in the model categorical framework. Our main result provides an explicit formula for computing Quillen cohomology of enriched operads, based on a procedure of taking certain infinitesimal models of their cotangent complexes. We are particularly interested in the Quillen cohomology of simplicial operads and dg operads. There is a natural construction of twisted arrow infinity category of a simplicial operad, which extends the notion of twisted arrow infinity category of an infinity category introduced by Lurie. We assert that the cotangent complex of a simplicial operad can be represented as a spectrum valued functor on its twisted arrow infinity category. Turning to the context of dg operads, the situation becomes simpler due to the stability of dg modules. We find that the cotangent complex of a dg operad P can be represented by a nice infinitesimal P-bimodule, which is in fact closely related to the module of Kähler differentials of P via a cofiber sequence. Moreover, we prove the existence of an operadic version of the Dold-Kan correspondence, then due to this we find a connection between Quillen cohomology of a simplicial operad and Quillen cohomology of its associated dg operad. In the last section, we establish the relation between deformation theory and Quillen cohomology.
Un aperçu moderne dû à Quillen, qui est développé par Lurie, affirme que de nombreuses théories de cohomologie de l’intérêt sont des cas particuliers d’une construction unique, ce qui permet de définir des groupes de cohomologie dans un réglage abstrait en utilisant uniquement les propriétés intrinsèques de la catégorie (ou infinie-catégorie) à portée de main. Cette théorie universelle de la cohomologie est connue sous le nom de cohomologie de Quillen. Dans n’importe quel contexte, la cohomologie Quillen d’un objet d’intérêt est classée par son complexe cotangent.
L’objectif principal de ce document est d’étudier la cohomologie Quillen des opérades enrichies, en travaillant dans le cadre de catégories modèles. Notre résultat principal fournit une formule explicite pour le calcul de la cohomologie Quillen des opérades enrichies, basée sur une procédure de prise de certains modèles infinitésimaux de leurs complexes cotangents. Nous nous intéressons particulièrement à la cohomologie Quillen des opérades simpliciales et dg-opérades. Il existe une construction naturelle de la infinie-catégorie de flèches torsadées d’un opérade simpliciale, qui étend la notion de infiniecatégorie de flèches torsadées d’une infinie-catégorie. Nous affirmons que le complexe cotangent d’un opérade simpliciale peut être représenté comme un foncteur valorisé en spectres sur sa catégorie de flèches torsadées. En ce qui concerne le contexte des dg-opérades, la situation devient plus simple en raison de la stabilité des dg-modules. Le complexe cotangent d’un dg-opérade est en fait étroitement lié à son module des différentielles de Kähler via une séquence cofibre. En plus de cela, nous prouvons l’existence d’une version opéradique pour la correspondance de Dold-Kan, puis en raison de cela nous trouvons un lien entre la cohomologie Quillen d’un opérade simpliciale et la cohomologie Quillen de son dg-opérade associé. Dans la dernière section, nous établissons la relation entre la théorie des déformations et la cohomologie de Quillen.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)