Scaling limits for constrained random walks

Limites d'échelle de marches aléatoires contraintes

Fabien Montégut (1)

1 IMT - Institut de Mathématiques de Toulouse UMR5219

This thesis falls within the field of limit theorems for Markov chains. We consider sequences of Markov chains, and focus on proving double asymptotics for such processes as both the time and the index in the sequence tend to infinity. In a first phase we will focus on the prisonners model in which a finite number of random walkers are constrained to stay close to each other. Our goal is to determine the limit behavior as the time and the number of prisonners is increasing, using the Hodge decomposition of an additive functionnal of a random walk on a finite graph, in line with previous work of Boissard, Cohen, Espinasse and Norris. Then we develop a generalisation of this model in which the Hodge decomposition can be used to prove limit theorem in double asymptotics. Finally we will consider two other models - the random walks in graphite and the dollar K dollar-dimensional hypercubes - in which the previous techniques allow us to prove scaling limits in both contexts.

Cette thèse s'inscrit dans le domaine des théorèmes limites pour les chaînes de Markov. Nous considérons des suites de chaînes de Markov et cherchons à montrer des doubles asymptotiques pour des processus lorsque le temps et l'indice de la suite tendent vers l'infini. Dans une première phase, nous nous concentrerons sur le modèle des prisonniers dans lequel un nombre fini de marcheurs aléatoires sont contraints de rester proches les uns des autres. Notre objectif est de déterminer le comportement limite lorsque le temps et le nombre de prisonniers augmentent, en utilisant la décomposition de Hodge d'une fonctionnelle additive d'une marche aléatoire sur un graphe fini, dans la lignée de travaux antérieurs de Boissard, Cohen, Espinasse et Norris. Ensuite, nous tenterons de développer une généralisation de ce modèle dans lequel la décomposition de Hodge peut être utilisée pour prouver des théorèmes limites en double asymptotique. Enfin, nous considérerons deux autres modèles - les marches aléatoires dans le graphite et les hypercubes de dimension dollar K dollar - dans lesquels les techniques précédentes nous permettent de prouver des limites d'échelle dans ces deux contextes.

Mots clés: Limit theorems; Markov chains; Random walks; Graphs

Mots clés: Théorèmes limites; Chaînes de Markov; Marches aléatoires; Graphes

Domaines: Probabilités [math.PR]

Fabien Montégut. Limites d'échelle de marches aléatoires contraintes. Probabilités [math.PR]. Université Paul Sabatier - Toulouse III, 2020. Français. ⟨NNT : 2020TOU30163⟩. ⟨tel-03130981⟩