Real resonances and spectral properties for non-selfadjoint Schrödinger operator

Résonances réelles et propriétés spectrales de l'opérateur de Schrödinger non-autoadjoint

Maha Aafarani (1)

1 LMJL - Laboratoire de Mathématiques Jean Leray

In this thesis, we study the large-time behavior of solutions to Schrödinger equation with complex-valued potentials. In the first part, we are interested in rapidly decreasing potentials. We establish the resolvent expansions at threshold and near positive resonances. We obtain the expansions in time of solutions under different conditions, including the existence of positive resonances and zero resonance or/and zero eigenvalue. In the second part, we are interested in slowly decreasing potentials. We establish Gevrey estimates for the resolvent and the large-time expansions for Schrödinger and heat semi-groups with sub-exponential time-decay estimates on the remainder. These results generalize the results of X. P. Wang to potentials satisfying a virial condition at infinity. Our results in the two parts cover the case of zero eigenvalue of arbitrary geometric multiplicity.

Dans cette thèse, on étudie le comportement en temps grand des solutions de l’équation de Schrödinger avec potentiels à valeurs complexes. Dans la première partie, on s’intéresse aux potentiels à décroissance rapide. On établit les développements de la résolvante au seuil et près des résonances positives. On obtient, sous différentes conditions, les développements en temps grand des solutions en supposant l’existence de résonances positives et d’une résonance et / ou une valeur propre au seuil zéro. Dans la deuxième partie, on s’intéresse aux potentiels à décroissance lente. On établit des estimations de Gevrey de la résolvante aussi que les développements en temps grand des semi-groupes de Schrödinger et de la chaleur avec des estimations sous-exponentielles en temps sur le reste. Ces derniers résultats généralisent les résultats de X. P. Wang au cas où le potentiel vérifie une condition de viriel au voisinage de l’infini. Ainsi, nos résultats dans les deux parties couvrent le cas d’une valeur propre zéro de multiplicité géométrique quelconque

Mots clés: Large time behavior of solutions; non-selfadjoint Schrödinger operator; positive resonances; threshold eigenvalue; Gevrey estimates

Mots clés: Asymptotique en temps grand des solutions; opérateur de Schrödinger nonautoadjoint; résonances positives; valeur propre au seuil; estimations de Gevrey

Domaines: Equations aux dérivées partielles [math.AP]; Théorie spectrale [math.SP]; Physique mathématique [math-ph]

Maha Aafarani. Résonances réelles et propriétés spectrales de l'opérateur de Schrödinger non-autoadjoint. Equations aux dérivées partielles [math.AP]. Université de Nantes (UN), Nantes, FRA.; Laboratoire de Mathématiques Jean Leray, 2020. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-03123344⟩