Qualitative study of dispersive wave equations

Etude qualitative d'équation d'ondes dispersives

Brigitte Bidégaray (1)

1 CMLA - Centre de Mathématiques et de Leurs Applications

This thesis consists into three parts addressing various aspects of the study of dispersive wave equations. All the studied models stem from physics. The first part is devoted to the study of the Cauchy problem for a nonlocal Zakharov equation. We perform also the study of the limit as the light velocity tends to infinity. The solutions to this equation tend to those of the Schrödinger equation. The second part revolves around with the construction of invariant measures by the flow of Hamiltonian systems under certain conditions. We then make explicit applications to systems such as the nonlinear Schrödinger equation or the wave equation, as well as to numerical schemes. The third part deals with the Cauchy problem for various equations occurring in nonlinear optics. We study more particularly Maxwell-Bloch and Maxwell-Debye systems.

Cette thèse comporte trois parties traitant différents aspects de l'étude des équations d'ondes dispersives. Les modèles étudiés ont tous une origine physique. La première partie est consacrée à l'étude du problème de Cauchy pour un système de Zakharov non local. On effectue également l'étude de la limite lorsque la vitesse de la lumière tend vers l'infini. Les solutions de cette équation tendent vers celle de l'équation de Schrödinger. La seconde partie concerne la construction de mesures invariantes par le flot de systèmes hamiltoniens vérifiant certaines hypothèses. On explicite ensuite les applications à des systèmes tels l'équation non linéaire de Schrödinger ou l'équation des ondes, ainsi qu'à des schémas numériques. La troisième partie traite du problème de Cauchy pour différentes équations issues de modélisations en optique non linéaire. On étudie plus particulièrement les systèmes de Maxwell-Bloch et de Maxwell-Debye.

Mots clés: Schrödinger Equation; Cauchy Problem; Zakharov System; Dispersive equations

Mots clés: Equation de Schrödinger; Problème de Cauchy; Système de Zakharov; Equations dispersives

Domaines: Equations aux dérivées partielles [math.AP]

Brigitte Bidégaray. Etude qualitative d'équation d'ondes dispersives. Equations aux dérivées partielles [math.AP]. Université de Paris-Sud, 1994. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-03040719⟩