Persistence and Sheaves: from Theory to Applications - Archive ouverte HAL Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2020

Persistence and Sheaves: from Theory to Applications

Persistance et Faisceaux : de la Théorie aux Applications

Résumé

Topological data analysis is a recent field of research aiming at using techniques coming from algebraic topology to define descriptors of datasets. To be useful in practice, these descriptors must be computable, and coming with a notion of metric, in order to express their stability properties with respect to the noise that always comes with real world data. Persistence theory was elaborated in the early 2000’s as a first theoretical setting to define such descriptors - the now famous so-called barcodes. However very well suited to be implemented in a computer, persistence theory has certain limitations. In this manuscript, we establish explicit links between the theory of derived sheaves equipped with the convolution distance (after Kashiwara-Schapira) and persistence theory. We start by showing a derived isometry theorem for constructible sheaves over R, that is, we express the convolution distance between two sheaves as a matching distance between their graded barcodes. This enables us to conclude in this setting that the convolution distance is closed, and that the collection of constructible sheaves over R equipped with the convolution distance is locally path-connected. Then, we observe that the collection of zig-zag/level sets persistence modules associated to a real valued function carry extra structure, which we call Mayer-Vietoris systems. We classify all Mayer-Vietoris systems under finiteness assumptions. This allows us to establish a functorial isometric correspondence between the derived category of constructible sheaves over R equipped with the convolution distance, and the category of strongly pfd Mayer-Vietoris systems endowed with the interleaving distance. We deduce from this result a way to compute barcodes of sheaves from already existing software. Finally, we give a purely sheaf theoretic definition of the notion of ephemeral persistence module. We prove that the observable category of persistence modules (the quotient category of persistence modules by the sub-category of ephemeral ones) is equivalent to the well-known category of gamma-sheaves.
Re ́sume ́ : L’analyse de donne ́es topologique est un domaine de recherche re ́cent qui vise a` employer les techniques de la topologie alge ́brique pour concevoir des descripteurs de jeux de donne ́es. Pour eˆtre utiles enpratique,cesdescripteursdoiventeˆtrecalculables, et posse ́der une notion de me ́trique, afin de pouvoir exprimer leur stabilite ́ vis a` vis du bruit inhe ́rent a` toutes donne ́es re ́elles. La the ́orie de la persistance a e ́te ́ e ́labore ́e au de ́but des anne ́es 2000 comme un premier cadre the ́orique permettant de de ́finir de tels descripteurs - les de ́sormais bien connus code- barres. Bien que tre`s bien adapte ́e a` un contexte informatique, la the ́orie de la persistance posse`de certaines limitations the ́oriques. Dans ce manuscript, nous e ́tablissons des liens explicites entre la the ́orie de ́rive ́e des faisceaux munie de la distance de convo- lution(d’apre`sKashiwara-Schapira)etlathe ́oriedela persistance. Nous commenc ̧ons par montrer un the ́ore`me d’isome ́trie de ́rive ́e pour les faisceaux constructibles sur R, c’est a` dire, nous exprimons la distance de convolutioncommeunedistanced’appariemententre les code-barres gradue ́s de ces faisceaux. Cela nous permet de conclure dans ce cadre que la distance de convolution est ferme ́e, ainsi que la classe des fais- ceaux constructibles sur R munie de la distance de convolution forme un espace topologique localement connexe par arcs. Nous observons ensuite que la collection des modules de persistance zig-zag associée à une fonction à valeurs réelle possède une structure supplé́mentaire, que nous appelons systèmes de Mayer-Vietoris. Sous des hypothèses de finitude, nous classifions tous les systèmes de Mayer-Vietoris. Cela nous permet d’établir une correspondance fonctorielle et isométrique entre la catégorie dérivée des faisceaux constructibles sur R équipée de la distance de convolution, et la catégorie des systèmes de Mayer-Vietoris fortement finis munie de la distance d’entrelacement. Nous en déduisons une méthode de calcul des code-barres gradués faisceautiques à partir de programmes informatiques déjà implémentés par la communauté de la persistance. Nous terminons par donner une définition purement faisceautique de la notion de module de persistance éphémère. Nous établissons que la catégorie observable des modules de persistance (le quotient de la catégorie des modules de persistance par la sous-catégorie des modules de persistance éphémères) est équivalente à la catégorie bien connue des gamma faisceaux.
Fichier principal
Vignette du fichier
01_thesis___impression 2.pdf (2.11 Mo) Télécharger le fichier
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)
Loading...

Dates et versions

tel-02970509 , version 1 (18-10-2020)
tel-02970509 , version 2 (23-10-2020)

Identifiants

  • HAL Id : tel-02970509 , version 1

Citer

Nicolas Berkouk. Persistence and Sheaves: from Theory to Applications. Algebraic Topology [math.AT]. École polytechnique; INRIA Saclay, 2020. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-02970509v1⟩
677 Consultations
945 Téléchargements

Partager

Gmail Facebook X LinkedIn More