, Afin d'illustrer les éléments de notre extension à B événementiel présentés tout au long de ce manuscrit, nous présentons dans ce chapitre deux études de cas : un système de train d'atterrissage et un système de freinage. La première étude de cas nous permet d'illustrer le processus de probabilisation présenté dans la section 5.2. L'étude de cas du système de freinage nous permet d'illustrer l

, Système d'atterrissage d'un avion

. Ce-cas-d'étude-représente-le-système-d'atterrissage-d'un-avion, Nous présentons cette étude de cas afin de montrer un exemple d'application réel du processus de probabilisation présenté dans la section 5.2. La figure 6.1 représente le principe de fonctionnement du train d'atterrissage. Le pilote peut commander le système de train d'atterrissage par l'intermédiaire d'un levier. Le comportement du train d'atterrissage peut se diviser en deux séquences : une séquence d'extension et une séquence de rétraction. En fonction de son besoin, vol.35

, exécution de l'une des séquences. Le système du train d'atterrissage doit satisfaire certaines exigences. En effet, le pilote ne peut pas commander le levier plus qu'un certain nombre de fois sans que l'une des séquences d'extension ou de rétraction soit exécutée. De plus, plus le pilote commande le levier, plus la chance de le commander encore une fois diminue et la chance d'exécuter l'une des séquences augmente

L. Est-Équippée-de-la-plateforme-rodin, une plateforme qui permet la spécification ainsi que la preuve de correction des machines B événementiel. Dans les chapitres précédents de ce manuscrit, nous avons présenté la méthode B événementiel ainsi que notre extension probabiliste à cette méthode afin de prendre en considération la modélisation des comportements probabilistes. Afin d'outiller notre extension probabiliste au B événementiel, nous avons commencé le développement d'une extension à Rodin afin de prendre en compte nos propositions. Dans la section 7.2, nous présentons la plateforme Rodin, son architecture ainsi que son principe de fonctionnement, vol.36

. La-plateforme-rodin,

, est un outil libre qui permet la spécification de modèles B événementiel ainsi que la preuve de leur correction

, C'est un outil à base de plugins qui s'exécutent dans l'environnement de développement Eclipse, vol.7

, De nombreux plugins peuvent être intégrés à Rodin. Nous citons à titre d'exemple les plugins ProB, UML-B et B2Latex. ProB [73, 9] est un plugin qui permet la vérification de la cohérence des machines B événementiel par model checking. UML-B [88, 12] est un plugin permettant la transformation des modèles UML en modèles B événementiel

, Rodin est une extension de la plateforme Eclipse. L'architecture de Rodin est divisée en quatre grandes parties, le noyau Rodin (Rodin Core), les librairies B événementiel (Event-B Library packages), le noyau B événementiel (Event-B Core) et l'interface graphique (Event-B UI). Nous décrivons brièvement dans ce qui suit chacune de ces parties : Écriture des substitutions probabilistes Annotation des événements par des poids Génération de la OP

. Atelierb,

, B2latex

, B4free

. Bittorent,

. Clearsy,

. Deployproject, , vol.18, p.125

, Prob, vol.18, p.125

. Uml-b,

M. Abadi and L. Lamport, The existence of refinement mappings, Theoretical Computer Science, vol.82, issue.2, p.24, 1991.

J. , Rigorous Development of Complex Fault-Tolerant Systems, LNCS

J. , Extending b without changing it (for developing distributed systems), 1st Conference on the B method, vol.11, p.17, 1996.

J. , The B-Book : Assigning programs to meanings, vol.10, p.24, 2005.

J. , Modeling in Event-B : system and software engineering, vol.12, p.22, 2010.

J. Abrial, M. Butler, S. Hallerstede, T. S. Hoang, F. Mehta et al., Rodin : an open toolset for modelling and reasoning in event-b, International journal on software tools for technology transfer, vol.12, issue.6, p.12, 2010.

J. Abrial, M. Butler, S. Hallerstede, and L. Voisin, An open extensible tool environment for event-b, International Conference on Formal Engineering Methods, p.125, 2006.

J. Abrial, D. Cansell, and D. Méry, A mechanically proved and incremental development of ieee 1394 tree identify protocol, Formal aspects of computing, vol.14, issue.3, p.17, 2003.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/inria-00099531

J. Abrial and L. Mussat, Introducing dynamic constraints in b, International Conference of B Users, p.17, 1998.

P. Audebaud and C. Paulin-mohring, Proofs of randomized algorithms in coq, Science of Computer Programming, vol.74, issue.8, p.11, 2009.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/inria-00431771

R. Back, On the correctness of refinement in program development, p.24, 1978.

R. Back, A calculus of refinements for program derivations, Acta Informatica, vol.25, issue.6, p.24, 1988.

R. R. Back and R. Kurki-suonio, Decentralization of process nets with centralized control, Proceedings of the second annual ACM symposium on Principles of distributed computing, pp.131-142, 1983.

R. R. Back and J. Wright, Duality in specification languages : a lattice-theoretical approach, Acta Informatica, vol.27, issue.7, p.24, 1990.

C. Baier, On algorithmic verification methods for probabilistic systems, p.35, 1998.

C. Baier and J. Katoen, Principles of model checking, vol.26202649, p.107, 2008.

G. Barthe, C. Fournet, B. Grégoire, P. Strub, N. Swamy et al., Probabilistic relational verification for cryptographic implementations, ACM SIGPLAN Notices, vol.49, p.11, 2014.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00935743

M. Ben-ari, A. Pnueli, and Z. Manna, The temporal logic of branching time, Acta informatica, vol.20, issue.3, p.11, 1983.

B. Bérard, M. Bidoit, A. Finkel, F. Laroussinie, A. Petit et al., Systems and software verification : model-checking techniques and tools, 2013.

D. Bert and F. Cave, Construction of finite labelled transition systems from b abstract systems, Integrated Formal Methods, volume 1945 of LNCS, p.37, 2000.

A. Bianco and L. Alfaro, Model checking of probabilistic and nondeterministic systems, International Conference on Foundations of Software Technology and Theoretical Computer Science, p.11, 1995.

I. Board, Ariane 5-flight 501 failure, The Chairman of the Board : Prof. JL LIONS, 1996.

F. Boniol and V. Wiels, The landing gear system case study, ABZ 2014 : The Landing Gear Case Study, p.111, 2014.

M. Butler and S. Hallerstede, The rodin formal modelling tool, Electronic Workshop In Computing, vol.18, p.125, 2007.

M. Butler and I. Maamria, Practical theory extension in event-b, Theories of Programming and Formal Methods, p.50, 2013.

W. W. Chu and C. Sit, Estimating task response time with contentions for real-time distributed systems, Real-Time Systems Symposium, 1988., Proceedings, vol.10, p.137, 1988.

E. M. Clarke and I. A. Draghicescu, Expressibility results for linear-time and branchingtime logics, Workshop/School/Symposium of the REX Project, p.11, 1988.

E. M. Clarke, O. Grumberg, and D. Peled, Model checking, p.11, 1999.

E. M. Clarke, W. Klieber, M. Nová?ek, and P. Zuliani, Model checking and the state explosion problem, LASER Summer School on Software Engineering, p.11, 2011.

M. A. Colón, S. Sankaranarayanan, and H. B. Sipma, Linear invariant generation using nonlinear constraint solving, Computer Aided Verification, p.136, 2003.

P. M. Defense, Software problem led to system failure at dhahran, saudi arabia, US GAO Reports, issue.9, 1992.

C. Dehnert, D. Gebler, M. Volpato, and D. N. Jansen, On Abstraction of Probabilistic Systems, p.11, 2014.

J. Hartog and E. P. De-vink, Verifying probabilistic programs using a hoare like logic, International Journal of Foundations of Computer Science, vol.13, issue.03, p.136, 2002.

E. W. Dijkstra, E. W. Dijkstra, E. W. Dijkstra, E. Informaticien, and E. W. Dijkstra, A discipline of programming, vol.1, p.18, 1976.

J. Fernandez, H. Garavel, A. Kerbrat, L. Mounier, R. Mateescu et al., Cadp a protocol validation and verification toolbox, Computer Aided Verification, pp.437-440

. Springer, , p.11, 1996.

O. Goldreich, Probabilistic proof systems, Modern Cryptography, Probabilistic Proofs and Pseudorandomness, vol.10, p.11, 1999.

M. J. Gordon and T. F. Melham, Introduction to hol a theorem proving environment for higher order logic, p.11, 1993.

H. Haghighi, Pz : A z-based formalism for modeling probabilistic behavior, International Journal of Computer, Electrical, Automation, Control and Information Engineering, vol.4, issue.1, p.10, 2010.

H. Haghighi and M. Afshar, A z-based formalism to specify markov chains, Computer Science and Engineering, vol.2, issue.3, p.11, 2012.

S. Hallerstede and M. Butler, Performance analysis of probabilistic action systems, Formal Aspects of Computing, vol.16, issue.4, pp.313-331, 2004.

S. Hallerstede and T. S. Hoang, Qualitative reasoning for the dining philosophers, vol.12, p.136

S. Hallerstede and T. S. Hoang, Qualitative probabilistic modelling in event-b, Integrated Formal Methods, vol.136, p.137, 2007.

D. Harel, Statecharts : A visual formalism for complex systems, Science of computer programming, vol.8, issue.3, pp.231-274, 1987.

D. Harel and M. Politi, Modeling reactive systems with statecharts : the STATEMATE approach, p.10, 1998.

T. S. Hoang, The development of a probabilistic B-method and a supporting toolkit, vol.89, p.137, 2005.

T. S. Hoang, Reasoning about almost-certain convergence properties using event-b, Science of Computer Programming, vol.81, issue.11, p.136, 2014.

T. S. Hoang, Z. Jin, K. Robinson, A. Mciver, and C. Morgan, Probabilistic invariants for probabilistic machines, ZB 2003 : Formal Specification and Development in Z and B, vol.11, p.137, 2003.

C. A. Hoare, An axiomatic basis for computer programming, Communications of the ACM, vol.12, issue.10, p.11, 1969.

G. J. Holzmann, The model checker spin, IEEE Transactions on software engineering, vol.23, issue.5, p.11, 1997.

G. Huet, G. Kahn, and C. Paulin-mohring, The coq proof assistant a tutorial. The Coq Project, p.11, 2004.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/inria-00069993

J. Hurd, Formal verification of probabilistic algorithms, vol.10, p.11, 2003.

J. Hurd, A. Mciver, and C. Morgan, Probabilistic guarded commands mechanized in hol, Electronic Notes in Theoretical Computer Science, vol.112, p.136, 2005.

M. Huth and M. Ryan, Logic in Computer Science : Modelling and reasoning about systems, p.11, 2004.

C. B. Jones, Systematic software development using VDM, vol.2, 1986.

B. Jonsson and K. G. Larsen, Specification and refinement of probabilistic processes, Proceedings of Sixth Annual IEEE Symposium on, p.11, 1991.

J. Katoen, Abstraction of Probabilistic Systems, p.11, 2007.

J. Katoen, A. K. Mciver, L. A. Meinicke, and C. C. Morgan, Linear-invariant generation for probabilistic programs, Static Analysis, p.136, 2010.

M. Kwiatkowska, G. Norman, and D. Parker, Prism : Probabilistic symbolic model checker, International Conference on Modelling Techniques and Tools for Computer Performance Evaluation, vol.35, p.137, 2002.

L. Lamport, The temporal logic of actions, ACM Transactions on Programming Languages and Systems (TOPLAS), vol.16, issue.3, pp.872-923, 1994.

K. G. Larsen, P. Pettersson, and W. Yi, Uppaal in a nutshell, International Journal on Software Tools for Technology Transfer (STTT), vol.1, issue.1, p.11, 1997.

M. Leuschel and M. Butler, Prob : an automated analysis toolset for the b method, International Journal on Software Tools for Technology Transfer, vol.10, issue.2, p.125, 2008.

R. Mayr, N. B. Henda, and P. A. Abdulla, Decisive markov chains, Logical Methods in Computer Science, vol.3, p.97, 2007.

A. Mciver, C. Morgan, and T. Hoang, Probabilistic termination in b, ZB 2003 : Formal Specification and Development in Z and B, vol.2651, p.89, 2003.

A. Mciver and C. C. Morgan, Abstraction, refinement and proof for probabilistic systems, Springer Science & Business Media, p.138, 2006.

C. Morgan, Programming from specifications, p.24, 1994.

C. Morgan, T. S. Hoang, and J. , The challenge of probabilistic event b-extended abstract, ZB 2005 : Formal Specification and Development in Z and B, pp.162-171

. Springer, , vol.12, p.136, 2005.

C. Morgan and A. Mciver, pgcl : formal reasoning for random algorithms, South African Computer Journal, p.137, 1999.

J. M. Morris, A theoretical basis for stepwise refinement and the programming calculus, Science of Computer programming, vol.9, issue.3, p.24, 1987.

S. Owre, S. Rajan, J. M. Rushby, N. Shankar, and M. Srivas, Pvs : Combining specification, proof checking, and model checking, International Conference on Computer Aided Verification, p.11, 1996.

L. C. Paulson, Isabelle : A generic theorem prover, vol.828, p.11, 1994.

A. Pnueli, Linear and branching structures in the semantics and logics of reactive systems, International Colloquium on Automata, Languages, and Programming, p.11, 1985.

M. L. Puterman, Markov decision processes : discrete stochastic dynamic programming, p.11, 2014.

R. Segala and N. Lynch, Probabilistic simulations for probabilistic processes, Nordic Journal of Computing, vol.2, issue.2, p.36, 1995.

K. Sere and E. Troubitsyna, Probabilities in action systems, Proc. of the 8th Nordic Workshop on Programming Theory, vol.10, p.11, 1996.

A. P. Sistla and E. M. Clarke, The complexity of propositional linear temporal logics, Journal of the ACM (JACM), vol.32, issue.3, p.11, 1985.

C. Snook and M. Butler, Uml-b : Formal modeling and design aided by uml, ACM Transactions on Software Engineering and Methodology (TOSEM), vol.15, issue.1, p.125, 2006.

J. M. Spivey and J. , The Z notation, 1992.

M. Stoelinga, An introduction to probabilistic automata, Bulletin of the EATCS, vol.78, issue.2, p.11, 2002.

A. Tarasyuk, E. Troubitsyna, and L. Laibinis, Reliability assessment in event-b development. NODES 09, vol.12, p.137, 2009.

A. Tarasyuk, E. Troubitsyna, and L. Laibinis, Towards probabilistic modelling in event-b, Integrated Formal Methods, vol.12, p.136, 2010.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/inria-00524594

A. Tarasyuk, E. Troubitsyna, and L. Laibinis, Integrating stochastic reasoning into event-b development, Formal Aspects of Computing, vol.27, issue.1, p.136, 2015.

K. S. Trivedi, S. Ramani, and R. Fricks, Recent advances in modeling response-time distributions in real-time systems, Proceedings of the IEEE, vol.91, issue.7, p.137, 2003.

R. J. Vanglabbeek, S. A. Smolka, and B. Steffen, Reactive, generative, and stratified models of probabilistic processes. Information and Computation, vol.121, p.35, 1995.

A. Villemeur, Reliability, Availability, Maintainability and Safety Assessment, Assessment, Hardware, Software and Human Factors, vol.2, p.137, 1992.

E. Yilmaz, Tool support for qualitative reasoning in Event-B, p.40, 2010.

E. Yilmaz and T. S. Hoang, Development of rabin's choice coordination algorithm in event-b. Electronic Communications of the EASST, vol.35, p.136, 2011.

S. Yovine, Kronos : A verification tool for real-time systems, International Journal on Software Tools for Technology Transfer (STTT), vol.1, issue.1, p.11, 1997.

?. .. , 20 2.4 Structure d'un événement abstrait et d'un événement concret

. .. Stratégie,

. .. Machine-mch, 45 3.3 Construction détaillée de la sémantique opérationnelle de la machine Mch, p.45

. .. Choix-probabiliste-de-l'événement-À-exécuter, , vol.46

. .. Choix, 47 3.6 Construction détaillée de la sémantique de la machine PMch, p.47

.. .. Chaîne-de-markov-résultante,

.. .. Forme-d'un-Événement-probabiliste,

, Extrait de la construction détaillée de la chaîne de Markov discrète du protocole P2P avec N=2 and K=2

. Extrait-de-la-chaîne-de-markov-du-protocole-p2p and . .. K=2, , p.65

.. .. Structure-d'une-machine-mixte,

. .. Formes, , p.68

, Une machine B événementiel mixte partielle

, Construction détaillée de la sémantique de la machine Exemple1, p.73

.. .. Sémantique-de-la-machine-exemple1,

.. .. Sémantique-de-la-machine-exemple2,

. .. , Une description du protocole P2P en B événementiel mixte, p.77

, Extrait de l'automate probabiliste du protocole P2P avec N=2 and K=2 (figure à modifier)

. .. , Comment introduire des probabilités au sein du B événementiel ?, p.82

, Une machine B événementiel mixte du protocole P2P

. .. , Une machine B événementiel purement probabiliste du protocole P2P, vol.88

.. .. ,

. .. Extrait-de-la-sémantique-opérationnelle-de-m1, , p.92

, Machine B événementiel probabiliste M

. .. Extrait-de-la-sémantique-opérationnelle-de-m-2, , p.94

. .. Processus-de-développement-du-protocole-p2p, , p.101

, Une machine B événementiel mixte du protocole P2P

. .. Machine-p2p-1-',

&. &. , Machine P2P 1

. P. Machine,

. .. Principe, , p.112

, Stratégie de développement du système du train d'atterrissage en B événementiel, p.112

.. .. Contexte,

.. .. Première-machine,

.. .. Deuxième-machine,

, Stratégie de développement du système de freinage en B événementiel, p.118

.. .. Contexte,

.. .. Première-machine,

.. .. Deuxième-machine,

.. .. Troisième-machine,

.. .. Quatrième-machine,

.. .. Machine-probabiliste,

. .. Architecture-de-rodin,

. .. B-Événementiel, , p.127

, Interface de modélisation dans l'outil Rodin

.. .. Interface-de-preuve-dans-l'outil-rodin,

, Interaction entre les interfaces de Rodin et le noyau B événementiel, p.129

.. .. Ajout-d'un-poids-À-un-Événement,

, Annotation d'un événement par un poids

, Ajout d'une substitution probabiliste

.. .. Machine-non-déterministe-du-landinggear,

.. .. ,