Étude qualitative de quelques équations et systèmes dynamiques non-linéaires amortis

Pascal Bégout (1)

1 IMT - Institut de Mathématiques de Toulouse UMR5219

Des méthodes d'énergie adaptées permettent d'obtenir la localisation spatiale, l'extinction en temps fini et la propriété de temps d'attente de solutions d'équations aux dérivées partielles. Ces trois types de propriétés sont ainsi regroupés car les méthodes mathématiques pour y parvenir sont très proches. Les travaux présentés dans une grande partie de cette habilitation à diriger des recherches concernent les deux premières propriétés que l'on applique à des équations de Schrödinger (stationnaires et d'évolution) avec un terme d'amortissement. Tout d'abord, des théorèmes d'existence et/ou d'unicité sont démontrés. Puis, une étude qualitative des solutions est effectuée: phénomène de localisation, pour l'équation stationnaire et extinction en temps fini, pour l'équation d'évolution. Une partie plus mince concerne la stabilisation en temps infinie de solutions des équations des ondes et des poutres à l'aide, également, d'un terme d'amortissement. Ce dernier permet d'obtenir l'extinction en temps infinie des solutions. On commence par établir une inégalité généralisée de Hölder. Puis, à l'aide de celle-ci, on donne la vitesse de convergence de l'énergie associée à chaque solution. Une autre partie traite de l'étude d'un système gradient du second ordre. Ici encore, un terme d'amortissement est présent impliquant, sous des hypothèses adéquats, l'extinction en temps infinie des solutions. En déformant l'énergie totale du système et en utilisant l'inégalité de Kurdyka-{\L}ojasiewicz, on montre que ce système gradient amorti du second ordre et les systèmes quasi-gradients sont de même nature. Par ailleurs, on donne les vitesses de convergence des solutions. Dans une dernière partie, on s'intéresse à l'équation de Schrödinger dont la non-linéarité est critique pour la masse. On montre à l'aide d'une inégalité améliorée de Strichartz que, près du temps d'explosion, la masse de la solution se concentre dans une boule de rayon nulle.

Mots clés: damped equation; dissipative dynamical systems; gradient systems; inertial systems; compactly supported solution; finite time extinction; asymptotic behavior; stabilization; global existence; uniqueness; self-similar solution; finite time blow-up; generalized Hölder's inequality; Kurdyka-Lojasiewicz inequality; generalized Strichartz's estimate

Mots clés: équation amortie; système dynamique dissipatif; système gradient; méthode d'énergie; solution à support compact; extinction en temps fini/infini; comportement asymptotique; stabilisation; existence globale; unicité; solution auto-semblable; explosion en temps fini; inégalité généralisée de Hölder; inégalité de Kurdyka-Lojasiewicz; inégalité améliorée de Strichartz.

Domaines: Equations aux dérivées partielles [math.AP]

Pascal Bégout. Étude qualitative de quelques équations et systèmes dynamiques non-linéaires amortis. Analysis of PDEs [math.AP]. Université Toulouse 1 Capitole (UT1 Capitole), 2019. ⟨tel-02560351⟩