Global optimization of polynomial programs with mixed-integer variables

Optimisation globale de polynômes en variables mixte-entières

Arnaud Lazare (1, 2)

1 CEDRIC - OC - CEDRIC. Optimisation Combinatoire
2 UMA - Unité de Mathématiques Appliquées

In this thesis, we are interested in the study of polynomial programs. These problems have many practical applications and are currently actively studied, but they remain very difficult and only small instances are addressed. In most of this manuscript, we study optimization problems with binary variables. We propose several convex reformulations for these problems. We first focus on linearizations by introducing the concept of q−linearization. Then, we apply convex reformulation to the polynomial problem. We then extend quadratic convex reformulation to the polynomial case. We propose several new reformulations that we compare to existing methods on instances of the literature. In particular we present method PQCR for unconstrained binary polynomial problems, which is able to solve several unsolved instances. We also propose a theoretical study to compare the different quadratic reformulations of the literature and then apply a convex reformulation to them. Finally, we consider more general problems and we propose a method to compute convex relaxations for problems with continuous variables.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à l’étude des programmes polynomiaux. Ces problèmes ont de nombreuses applications pratiques et constituent actuellement un champ de recherche très actif, mais restent très difficiles et on ne sait résoudre en toute généralité que des instances de petite taille. Dans la majeure partie de ce manuscrit, nous étudions les problèmes d’optimisation en variables binaires. Nous proposons plusieurs reformulations convexes pour ces problèmes. Nous nous intéressons tout d’abord aux linéarisations en introduisant le concept de q−linéarisation. Ensuite, nous appliquons une reformulation convexe au problème polynomial. Nous étendons ensuite la reformulation quadratique convexe au cas polynomial. Nous proposons plusieurs nouvelles reformulations que nous comparons aux méthodes existantes sur des instances de la littérature. En particulier, nous présentons la méthode PQCR pour les problèmes polynomiaux binaires sans contrainte qui permet de résoudre des instances jusqu’ici non résolues. Nous proposons aussi une étude théorique visant à comparer les différentes reformulations quadratiques de la littérature puis leur appliquer une reformulation convexe. Enfin nous considérons des cas plus généraux et nous proposons une méthode permettant de calculer des relaxations convexes pour des problèmes en variables continues.

Mots clés: Non convex optimization; Discrete optimization; Polynomial optimization; Exact resolution; Convex quadratic reformulation

Mots clés: Optimisation non convexe; Optimisation discrète; Optimisation polynomiale; Résolution exacte; Reformulation quadratique convexe

Domaines: Recherche opérationnelle [math.OC]

Arnaud Lazare. Optimisation globale de polynômes en variables mixte-entières. Recherche opérationnelle [math.OC]. École doctorale de mathématiques Hadamard (EDMH, ED 574), 2019. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-02462537v1⟩