Modeling deterministic, stochastic or discrete dynamical systems : application to astronomy and physics

Modélisation de systèmes dynamiques déterministes, stochastiques ou discrets

Frédéric Pierret (1, 2)

1 IMCCE - Institut de Mécanique Céleste et de Calcul des Ephémérides
2 SYRTE - Systèmes de Référence Temps Espace

The general problem is to analyze the impact of the choice of a mathematical framework in modeling on model predictions. In this thesis we study the deterministic, stochastic, discrete and time-scale framework. In particular we study the preservation of important structures by these various formalisms such as: the variational structure (Lagrangian and Hamiltonian), symmetries and in particular the first integrals (Noether theorems), the equilibrium points or more generally invariant sets and dynamical properties (stability, positivity, etc.). These developments use the embedding formalism and in the discrete case, it allows to clarify the construction of variational or non-standard integrators. In the stochastic case, we obtain a modification of the Euler-Maruyama scheme which preserves dynamical constraints such as positivity. Each of these tools and results are illustrated in problems from astronomy and physics. We study a two-body problem with a stochastic perturbation then, a problem on the rotation of a body having stochastic variations of its flattening. The change of nature induced surprising effects such as an acceleration of the precession for the two-body problem, and for the rotation it allows to interpret, for example for the Earth, the effects observed until then unexplained. All this work has led to rethink the modeling and for that we constructed new objects into a framework that we called scale dynamic and allows to study objects and multiscale structures.

Le problème général est d'analyser l'impact du choix d'un cadre mathématique en modélisation sur les prédictions d'un modèle. Dans cette thèse nous étudions le cadre déterministe, stochastique, discret et time-scale. En particulier nous étudions la préservation par ces divers formalismes de structures importantes comme : la structure variationnelle (lagrangienne ou hamiltonienne), les symétries et en particulier les intégrales premières (théorèmes de Noether), les points d'équilibre et plus généralement les ensembles invariants et enfin des propriétés dynamiques plus fines (stabilités, positivités, etc). Ces développements utilisent le cadre des plongements et permettent dans le cas discret de préciser la construction d'intégrateurs numériques variationnels ou non-standards. Dans le cas stochastique, nous obtenons une modification du schéma d'Euler-Maruyama permettant de préserver des contraintes dynamiques comme la positivité. Chacun de ces outils et résultats sont illustrés dans des problèmes d'astronomie et de physique. Nous étudions un problème des deux-corps avec une perturbation stochastique puis un problème sur la rotation d'un corps ayant des variations stochastiques de son aplatissement. Le changement de nature induit des effets surprenants comme une accélération de la précession pour le problème des deux-corps, et pour la rotation cela permet d'interpréter, pour la Terre par exemple, des effets observés jusqu'alors non expliqués. Tout ce travail a conduit à repenser la modélisation et nous avons construit pour cela de nouveaux objets qui entrent dans un cadre que nous avons appelé dynamique d'échelle et qui permet l'étude d'objets et de structures multiéchelles.

Mots clés: astronomy

Mots clés: Processus stochastiques; Problème à N corps; Helmholtz; Équation d'; Mécanique céleste

Domaines: Astrophysique [astro-ph]

Frédéric Pierret. Modélisation de systèmes dynamiques déterministes, stochastiques ou discrets. Astrophysique [astro-ph]. Observatoire de Paris, 2015. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-02095306⟩