Homogenization methods and numerical simulations applied to the electromagnetic response of complex multiscale materials

Méthodes d’homogénéisation et simulations numériques appliquées à la réponse électromagnétique des matériaux multi-échelles complexes

Hélène Canot (1)

1 LMBA - Laboratoire de Mathématiques de Bretagne Atlantique

The work of this thesis concerns the homogenization of three-dimensional harmonic Maxwell equations, modeling the propagation of an electromagnetic wave originating from lightning, from air in the composite material. The problem of composites being, for example in aeronautics, the evacuation of the lightning and the protection against the electromagnetic aggressions. We consider a structure made of carbon fibers included in an epoxy resin which will itself be nano- charged. Thus rendering the composite electrically conductive. In order to obtain the homogenized problem, we use asymptotic analysis at two scales. Then we mathematically justify the result by two-scale convergence. The solution of the electric field is approximated by the addition of the average electric field and the correct field, depending on the microstructure, and solution of the cell problems. In the second part, we propose a numerical validation of the simplified model in 2D via simulations with the free finite element software Freefem ++. Three test cases will be presented before validating the homogenization method. Finally, as an illustration of the model, two examples of electromagnetic aggression: the Type A lightning bolt and a nuclear electromagnetic pulse will be tested in the frequency domain.

Les travaux de cette thèse concernent l'homogénéisation d'équations de Maxwell harmoniques tridimensionnelles, modélisant la propagation d'une onde électromagnétique issue de la foudre, de l'air dans le matériau composite. La problématique des composites étant, par exemple en aéronautique, l'évacuation de la foudre et la protection contre les agressions électromagnétiques. Nous considérons une structure constituée de fibres de carbone incluses dans une résine époxy qui sera elle-même nano chargée. Rendant ainsi le composite électriquement conducteur. Afin d'obtenir le problème homogénéisé nous utilisons l'analyse asymptotique à deux échelles. Puis nous justifions mathématiquement le résultat par la convergence à deux échelles. La solution du champ électrique est approchée par l'addition du champ électrique moyen et le champ correcteur, dépendant de la microstructure, et solution des problèmes de cellule. Dans la deuxième partie, nous proposons une validation numérique du modèle simplifié en 2D via des simulations avec le logiciel libre d'éléments finis Freefem ++. Trois cas tests seront présentés avant de valider la méthode d'homogénéisation. Enfin, en guise d'illustration du modèle, deux exemples d'agressions électromagnétiques : l'arc en retour de foudre de type A et une impulsion électromagnétique nucléaire seront testées dans le domaine fréquentiel.

Mots clés: Electromagnetic compatibility; Homogenization (Differential equations); Composite materials; Two-scale convergence

Mots clés: Freefem++; Convergence à deux échelles

Domaines: Analyse numérique [math.NA]

Hélène Canot. Méthodes d’homogénéisation et simulations numériques appliquées à la réponse électromagnétique des matériaux multi-échelles complexes. Analyse numérique [math.NA]. Université de Bretagne Sud, 2018. Français. ⟨NNT : 2018LORIS515⟩. ⟨tel-01979679v2⟩