Contribution à l'analyse numérique de problèmes d'évolution : comportements asymptotiques et applications à l'équation de Schrödinger

Abstract : Je regroupe dans ce manuscrit d'habilitation à diriger les recherches l'ensemble des travaux que j'ai réalisés au sein d'Inria. Il s'agit de questions de comportement de méthodes numériques d'intégration de problèmes d'évolution en temps issus de la modélisation, déterministe ou stochastique, de systèmes physiques. On aborde des question quantitatives, proposant et analysant des méthodes d'ordre élevé pour des équations de Schrödinger non-linéaires permettant par exemple de simuler efficacement des condensats de Bose Einstein en rotation. On considère aussi des méthodes numériques appliquées à des problèmes stochastiques (équations différentielles de Poisson, équation de Schrödinger non-linéaire avec dispersion aléatoire), en proposant et analysant des méthodes d'ordre 1. On aborde également des questions qualitatives, en analysant le comportement en temps long de méthodes numériques. On s'intéresse notamment à la préservation de la régularité des solutions de l'équation de Schrödinger linéaire par des méthodes de décomposition en temps. On propose une étude des méthodes de décomposition avec sous-cyclage pour l'intégration en temps de problèmes multi-échelles, montrant sur des exemples qu'il est possible que l'ordre asymptotique d'une méthode soit strictement supérieur à son ordre local. Enfin, on propose des discrétisations en espace, en vitesse et en temps de l'équation de Fokker Planck inhomogène et l'on montre qu'il est possible d'utiliser au niveau discret des méthodes hypocoercives garantissant la convergence exponentielle des solutions numériques vers un état d'équilibre. On aborde enfin des questions plus directement en lien avec la physique. On utilise des méthodes numériques pour simuler le phénomène d'instabilité modulationnelle dans les fibres optiques à dispersion variable en dispersion normale et valider une analyse théorique de ce phénomène. On étudie le comportement vis-à-vis des paramètres de dispersion des solitons de Peregrine et de Kuznetsov Ma dans des fibres en dispersion anormale. Enfin, on compare la réponse d'un quantum dot de deux électrons prévue par plusieurs modèles physiques à une forte et courte excitation magnétique, au-delà de la réponse linéaire.
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Contributor : Guillaume Dujardin <>
Submitted on : Monday, December 10, 2018 - 3:48:50 PM
Last modification on : Friday, May 10, 2019 - 12:23:10 PM
Long-term archiving on : Monday, March 11, 2019 - 4:23:48 PM

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Guillaume Dujardin. Contribution à l'analyse numérique de problèmes d'évolution : comportements asymptotiques et applications à l'équation de Schrödinger. Mathématiques [math]. Universite de Lille, 2018. ⟨tel-01950160⟩

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