Iso-spectral invariants and KAM theorems
Invariants iso-spectraux et théorèmes KAM
Résumé
The aim of this work is to obtain spectral rigidity results for $\mathcal C^1$ families of elliptic self-adjoint (pseudo-)differential operators $P_t$, $t\in [0,\delta]$, on a smooth closed manifold $M$ of dimension $n\geq 2$. In the first two chapters, we investigate Hamiltonians close to a given integrable Hamiltonian which is non-degenerate in the sense of
Kolmogorov (KAM system). This allows us to obtain a Birkhoff normal form in a neighborhood of any KAM tori with a Diophantine frequency. In the third and fourth chapters, we construct a quantum Birkhoff normal form and obtain $\mathcal C^1$ families of quasi-modes. Using the quasi-modes, we establish a connection between the spectral properties of $P_t$ and the dynamical properties of the KAM tori. The last two chapters provide applications of these results to the Radon transform and the surfaces of revolution.
L'objectif de ce travail est d'établir des résultats de rigidité spectrale pour des familles $\mathcal C^1$ d'opérateurs (pseudo-)différentiels elliptiques auto-adjoints $P_t$, $t\in [0,\delta]$, sur une variété lisse compacte $M$ sans bord de dimension $n\ge 2$. Dans les deux premiers chapitres, on étudie des hamiltoniens proches d'un hamiltonien intégrable qui est non dégénéré au sens de Kolmogorov (Système KAM). On y construit une forme normale de Birkhoff au voisinage de chaque tore KAM ayant une fréquence diophantienne. Dans les chapitres $3$ et $4$ on établit une forme normale de Birkfoff quantique afin de construire des familles $\mathcal C^1$ de quasi-modes. Ces dernières permettent de relier les propriétés spectrales de $P_t$ aux propriétés dynamiques des tores KAM. Les deux derniers chapitres proposent des applications en lien avec la transformée de Radon ainsi qu'une étude sur les surfaces de rotation.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)