Non-asymptotic method estimation and applications for fractional order systems
Estimation de méthode non-asymptotique et applications pour les systèmes d'ordre fractionnaire
Résumé
This thesis aims to design non-asymptotic and robust estimators for a class of fractional order linear systems in noisy environment. It deals with a class of commensurate fractional order linear systems modeled by the so-called pseudo-state space representation with unknown initial conditions. It also assumed that linear systems under study can be transformed into the Brunovsky’s observable canonical form. Firstly, the pseudo-state of the considered systems is estimated. For this purpose, the Brunovsky’s observable canonical form is transformed into a fractional order linear differential equation involving the initial values of the fractional sequential derivatives of the output. Then, using the modulating functions method, the former initial values and the fractional derivatives with commensurate orders of the output are given by algebraic integral formulae in a recursive way. Thereby, they are used to calculate the pseudo-state in the continuous noise-free case. Moreover, to perform this estimation, it provides an algorithm to build the required modulating functions. Secondly, inspired by the modulating functions method developed for pseudo-state estimation, an operator based algebraic method is introduced to estimate the fractional derivative with an arbitrary fractional order of the output. This operator is applied to cancel the former initial values and then enables to estimate the desired fractional derivative by a new algebraic formula using a recursive way. Thirdly, the pseudo-state estimator and the fractional order differentiator are studied in discrete noisy case. Each of them contains a numerical error due to the used numerical integration method, and the noise error contribution due to a class of stochastic processes. In particular, it provides ananalysis to decrease noise contribution by means of an error bound that enables to select the optimal degrees of the modulating functions at each instant. Then, several numerical examples are given to highlight the accuracy, the robustness and the non-asymptotic property of the proposed estimators. Moreover, the comparisons to some existing methods and a new fractional orderH1-like observer are shown. Finally, conclusions are outlined with some perspectives
Cette thèse vise à concevoir des estimateurs non-asymptotiques et robustes pour les systèmes linéaires d’ordre fractionnaire dans un environnement bruité. Elle traite une classe des systèmes linéaires d’ordre fractionnaire modélisée par la dite pseudo représentation d’état avec des conditions initiales inconnues. Elle suppose également que les systèmes étudiés ici peuvent être transformés sous la forme canonique de Brunovsky. Pour estimer le pseudo-état, la forme précédente est transformée en une équation différentielle linéaire d’ordre fractionnaire en prenant en compte les valeurs initiales des dérivées fractionnaires séquentielles de la sortie. Ensuite, en utilisant la méthode des fonctions modulatrices, les valeurs initiales précédentes et les dérivées fractionnaires avec des ordres commensurables de la sortie sont données par des formules algébriques avec des intégrales à l’aide d’une méthode récursive. Ainsi, ces formules sont utilisés pour calculer le pseudo-état dans le cas continu sans bruit. En outre, elle fournit un algorithme pour construire les fonctions modulatrices requises à l’accomplissement de l’estimation. Deuxièmement, inspiré par la méthode des fonctions modulatrices développée pour l’estimation de pseudo-état, cette méthode algébrique basée sur un opérateur est introduite pour estimer la dérivée fractionnée avec un ordre arbitraire fractionnaire de la sortie pour les systèmes considérés. Cet opérateur sert à annuler les valeurs initiales non désirées, puis permet d’estimer la dérivée fractionnaire souhaitée par une nouvelle formule algébrique à l’aide d’une méthode récursive. Troisièmement, l’estimateur du pseudo-état et le différenciateur d’ordre fractionnaire obtenus précédemment sont étudiés respectivement dans le cas discret et bruité. Chacun d’entre eux contient une erreur numérique due à la méthode d’intégration numérique utilisée et au bruit. En particulier, elle fournit une analyse pour diminuer la contribution du bruit au moyen d’une d’erreur bornée qui permet de sélectionner les degrés optimaux des fonctions de modulation à chaque instant. Ensuite, des exemples numériques sont donnés pour mettre en évidence la précision, la robustesse et la propriété non-asymptotique des estimateurs proposés. En outre, les comparaisons avec certaines méthodes existantes et avec un nouvel observateur d’ordre fractionnaire de typeH1sont montrées. Enfin, elle donne des conclusions
Origine : Version validée par le jury (STAR)