Mathematical and numerical study of the inverse problem of electro-seismicity in porous media
Etude mathématique et numérique du problème inverse de l'électro-sismique en milieu poreux
Résumé
In this thesis, we study the inverse problem of the coupling phenomenon of electromagnetic (EM) and seismic waves. Partial differential equations governing the coupling phenomenon are composed of Maxwell and Biot equations. Since the coupling phenomenon is rather weak, in low frequency we only consider the transformation from EM waves to seismic waves. We use electroseismic model to refer to this transformation. In the model, the electric field becomes the source of Biot equations. A coupling coefficient is used to denote the efficiency of the transformation.Chapter 2, we consider the existence and uniqueness of the forward problem in both frequency domain and time domain. In the frequency domain, we propose the suitable Sobolev space to consider the electrokinetic problem. We prove that the weak formula satisfies a Garding's inequality using Helmohltz decomposition. The Fredholm alternative can be applied, which shows that the existence is equivalent to the uniqueness. In the time domain, the weak solution is defined and the existence and uniqueness of the weak solution is proved.The stability of the inverse problem is considered in Chapter 3. We first prove Carleman estimates for both Biot equations and electroseismic equations. Based on the Carleman estimates for electroseismic equations, we prove a Holder stability to inverse all the parameters in Maxwell equation and the coupling coefficient. To simply the problem, we use electrostatic equations to replace Maxwell equations. The inverse problem is decomposed into two steps: the inverse source problem for Biot equations and the inverse parameter problem for the electrostatic equation. We can prove the stability of the inverse source problem for Biot equations based on the Carleman estimate for Biot equations. Then the conductivity and the coupling coefficient can be reconstructed with the information from the first step.In Chapter 4, we solve the electroseismic equations numerically. The electrostatic equation is solved by the Matlabe PDE toolbox. Biot equations are solved with a staggered finite difference method. To decrease the computation consumption, we only deal with the two dimensional problem. To simulate waves propagating in unbounded domain, we use PML to absorb waves reaching the cut-off boundary.Chapter 5 deals with the numerical inverse source problem for Biot equations. The method we are going to use is a variant of the time reversal method. The first step of the method is to transform the source problem into an initial value problem without any source. Then the application of the time reversal method recovers the initial value. Numerical examples demonstrate that this method works well even for Biot equations with a small damping term. But if the damping term is too large, the inverse process is not symmetric with the forward process and the reconstruction results degenerate.
Dans cette thèse, nous étudions le problème inverse du phénomène de couplage des ondes électromagnétiques (EM) et sismiques. Les équations différentielles partielles régissant le phénomène de couplage sont composées d'équations de Maxwell et de Biot. Comme le phénomène de couplage est plutôt faible, nous ne considérons que la transformation des ondes électromagnétiques en ondes sismiques. Nous utilisons le modèle électrosismique pour se référer à cette transformation. Dans le modèle, le champ électrique devient la source des équations de Biot. Un coefficient de couplage est utilisé pour désigner l'efficacité de la transformation.Chapitre 2, nous considérons l'existence et l'unicité du problème vers l'avant dans le domaine fréquentiel et dans le domaine temporel. Dans le domaine fréquentiel, nous proposons l'espace de Sobolev approprié pour considérer le problème électrocinétique. Nous prouvons que la formule faible satisfait l'inégalité de Garding en utilisant la décomposition de Helmohltz. L'alternative de Fredholm peut être appliquée, ce qui montre que l'existence est équivalente à l'unicité. Dans le domaine temporel, la solution faible est définie et l'existence et l'unicité de la solution faible est démontrée.La stabilité du problème inverse est considérée dans le chapitre 3. Nous prouvons d'abord les estimations de Carleman pour les équations de Biot et les équations électrosismiques. Basé sur les estimations de Carleman pour les équations électrosismiques, nous prouvons une stabilité de Holder pour inverser tous les paramètres dans l'équation de Maxwell et le coefficient de couplage. Pour simplifier le problème, nous utilisons des équations électrostatiques pour remplacer les équations de Maxwell. Le problème inverse est décomposé en deux étapes: le problème de source inverse pour les équations de Biot et le problème de paramètre inverse pour l'équation électrostatique. Nous pouvons prouver la stabilité du problème de source inverse pour les équations de Biot sur la base de l'estimation de Carleman pour les équations de Biot. Ensuite, la conductivité et le coefficient de couplage peuvent être reconstitués avec les informations de la première étape.Dans le chapitre 4, nous résolvons les équations électrosismiques numériquement. L'équation électrostatique est résolue par la boîte à outils Matlabe PDE. Les équations de Biot sont résolues avec une méthode de différences finies échelonnées. Pour diminuer la consommation de calcul, nous ne traitons que du problème bidimensionnel. Pour simuler des ondes se propageant dans un domaine non borné, nous utilisons le PML pour absorber les ondes atteignant la limite de coupure.Le chapitre 5 traite du problème de source inverse numérique pour les équations de Biot. La méthode que nous allons utiliser est une variante de la méthode d'inversion temporelle. La première étape de la méthode consiste à transformer le problème source en un problème de valeur initiale sans aucune source. Ensuite, l'application de la méthode d'inversion de temps récupère la valeur initiale. Des exemples numériques démontrent que cette méthode fonctionne bien même pour les équations de Biot avec un petit terme d'amortissement. Mais si le terme d'amortissement est trop grand, le processus inverse n'est pas symétrique avec le processus en avant et les résultats de la reconstruction dégénèrent.
Origine : Version validée par le jury (STAR)
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